Математика онлайн
FIZMA.neT - математика онлайн
Hosting Ukraine Hosting Ukraine Hosting Ukraine Hosting Ukraine Hosting Ukraine Hosting Ukraine Hosting Ukraine Hosting Ukraine Hosting Ukraine Hosting Ukraine
Призначення кнопок панелі онлайн розрахунків
Генерувати - виконується постановка задачі (у довільні поля вносяться випадкові числа. Задача має єдиний розв'язок)
Розрахувати - перевіряється правильність розв'язування довільної задачі (Виводиться повідомлення про неправильні значення)
Перевірити - перевіряється правильність розв'язування згенерованої задачі (Виводиться повідомлення про неправильні значення)
Мінікалькулятор дозволяє виконувати прості розрахунки. Виберіть, при потребі, функцію. Внесіть у перше поле вираз (в тому числі і з дужками)
2*(2+2). Натисніть = і результат з'явиться у другому полі. Кнопка 0 дозволяє округлити результат до чотирьох значущих цифр. Кнопка < дозволяє перенести результат у перше поле.

Производная

Десяткові дроби Звичайні дроби Онлайн-розрахунки
Графическое представление
Задано функцию f(x) и точку х0. Найдите производную функции f'(x) и ее значение в заданной точке f '(х0).
Можно находить производные только от степенной функции, функций ln x, Sin x та Cos x



 

f(x)=

 

x


 

;

 

x0= ;

 

f '(x)=

 

x


 

;

 

f '(x0)= .

Понятие производной Wikipedia
Это динамический рисунок GeoGebra.
Красные элементы можно изменять

Геометрическое содержание производной.
Дифференциал
Операция нахождения производной функции называется дифференцированием.
Приращение аргумента и функции

Пусть функция y=f(x) задана на некотором интервале (а; b). Возьмем произвольную точку х0  (а; b) и дадим ей произвольное приращения аргумента Δх (число Δх может быть как положительном так и отрицательным), но таково, чтобы точки х0 и х0+Δх принадлежали интервалу (а; b). Тогда значение функции f(x) в точке х0+Δх будет равным f(х0+Δх).

Определение. Выражение Δy=f(х0+Δх)– f(х0) называется приращением функции f(x) в точке х0.

Определение производной

Определение. Если существует граница отношения приращения функции Δy к приращению аргумента Δx, при условии, что Δx стремится к нулю, то эта граница называется производной функции f(x) в точке х0

.

Производная обозначается .

Геометрическое содержание производной
Таблица производных

Производная функции в данной точке равняется тангенсу угла наклона касательной к функции в этой точке f '(x0)=tg α=k.

Уравнение касательной к функции f(х) в точке х0 записывается так: y=f(x0)+f '(x0)(x-x0). Это уравнение можно представить в виде y=kx+b .

Механическое (физическое) содержание производной

Когда задана функция пути S=S(t) то первая производная от нее по времени даст функцию скорости St'(t)= v(t) .

Производная от функции скорости по времени даст функцию ускорения vt'(t)= а(t) .

Вторая производная от пути по времени равна ускорению тела в данный момент времени St''(t)= а(t) .

Производную можно использовать и для других физических величин, которые характеризуют скорость прохождения определенных процессов. Так сила тока характеризует скорость прохождения заряда I=Δq/Δt. Поэтому можно сказать, что функция силы тока будет производной по времени от функции заряда I=qt'.

Правила дифференцирования

Таблица производных Wikipedia. Правила дифференцирования
Производные функций можно находить пользуясь определением. Но такой способ является не удобным, и потому на практике производные находят пользуясь таблицей производных (см. таблицу) и правилами дифференцирования (их есть четыре).

Если u, v - дифференцируемые функции, С - постоянная,
то правила дифференцирования записываются так (см. справа):

Производная составной функции

Пусть заданы функции y=f(t) и t=g(x) . Теперь подставим вторую функцию в первую.

Определение. Функция y=h(x)=f(g(x)) называется составной функцией (суперпозицией или композицией) функций относительно функций f и g.

Например, y=Sin2x – составная функция, потому что она является суперпозицией функций y=u2; и u=Sin x.

Формула для нахождения производной составной функции записывается так: (f(g(x))) '=f '(g(x))·g'(x).

Дифференциал функции. Приближенные вычисления

Определение. Дифференциал – главная, линeйная часть приращения функции. Обозначается dy (см. рисунок).

Если значение функции f в точке x вычислить сложно, но существует "очень близкая" к ней точка x0=x-Δx, в которой значение этой функции легко вычисляется, то для нахождения приближенного значения функции f в точке x используют формулу приближенных вычислений f(x)≈f(x0)+f '(x0)Δx.


Hosting Ukraine