Математика онлайн
FIZMA.neT - математика онлайн
Hosting Ukraine Hosting Ukraine Hosting Ukraine Hosting Ukraine Hosting Ukraine Hosting Ukraine Hosting Ukraine Hosting Ukraine Hosting Ukraine Hosting Ukraine
Призначення кнопок панелі онлайн розрахунків
Генерувати - виконується постановка задачі (у довільні поля вносяться випадкові числа. Задача має єдиний розв'язок)
Розрахувати - перевіряється правильність розв'язування довільної задачі (Виводиться повідомлення про неправильні значення)
Перевірити - перевіряється правильність розв'язування згенерованої задачі (Виводиться повідомлення про неправильні значення)
Мінікалькулятор дозволяє виконувати прості розрахунки. Виберіть, при потребі, функцію. Внесіть у перше поле вираз (в тому числі і з дужками)
2*(2+2). Натисніть = і результат з'явиться у другому полі. Кнопка 0 дозволяє округлити результат до чотирьох значущих цифр. Кнопка < дозволяє перенести результат у перше поле.

Понятие функции. Преобразование графиков функций
Понятие функции Wikipedia

Определение. Пусть имеем некоторые множества Х и Y элементов произвольной природы. Если каждому элементу хХ по определенному правилу поставлен в соответствие один элемент из множества Y  (yY), то говорят, что на множестве Х определенно функцию. Записывают у=f(x) (рис.1).

Определение. Множество Х всех элементов, которые могут быть аргументами функции, называется областью определения функции.

Определение. Множество Y всех значений функции, которых она приобретает, называют областью значений функции.

Определение. х называют аргументом или независимой переменной; у называют результатом (зависимой переменной) или функцией.

Способы задания функции:
  • аналитический (формулой);
  • графический;
  • табличный;
  • описательный (зависимость описана словами).
Основные элементарные функции:

Рис. 1. Графическое представление
понятия функции
Разные виды функций

Рис. 5. График убывающей функции

Рис. 4. График возрастающей функции

Рис. 3. График нечетной функции

Рис. 2. График четной функции

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 


Рис. 7. Точка максимума функции

Рис. 6. Точка минимума функции

Определение. Функция f(x) называется четной, если f(-х)= f(x) (рис.2).

Определение. Функция f(x) называется нечетной, если f(-х)= - f(x) (рис.3).

Геометрически график четной функции симметричен относительно оси Оy. График нечетной функции симметричен относительно начала координат

Определение. Функция f(x) на промежутке (а;b) называется возрастающей, если для x2 > x1 выполняется неравенство f(x2) >f(x1) (рис.4).

Определение. Функция f(x) на промежутке (а;b) называется убывающей, если для x2 > x1 выполняется неравенство f(x2) <f(x1) (рис.5).

Определение. Точка xo называется точкой минимума функции f(x) на промежутке (а;b) , если f(xo)<f(x) (рис.6).

Определение. Точка xo называется точкой максимума функции g(x) на промежутке (а;b) , если f(xo) >f(x) (рис.7).

Определение. Функцию, что получает каждое свое значения в единственной точке области определения называют обратимой.


Рис. 8. Графики обратных функций

Определение. Функцию, которая в каждой точке х области значений оборотной функции f приобретает такое значение y, что f(y)=x, называют обратной к f.

Геометрически график функции g, обратной к функции f симметричный к графику f относительно прямой y=x (биссектрисы первой и третьей четвертей) (рис.8).

Схема исследования функции
  1. Область определения и значений.
  2. Четность, нечетность, периодичность.
  3. Точки пересечения с осями координат f(x)=0, f(0)=y.
  4. Промежутки знакопостоянства f(x)>0, f(x)<0.
  5. Промежутки возрастания и убывания.
  6. Точки максимума и минимума и значения функции в этих точках.
Преобразование графиков функций
Это динамический рисунок GeoGebra.
Красные элементы можно изменять

Преобразование графиков функций

С помощью операций преобразования графики некоторой функции y=f(x) можно превратить в график значительно более сложной функции без никаких вычислений. К операциям преобразования относятся:

  • параллельный перенос осей координат;
  • смена масштабов по осям координат;
  • смена ориентации осей координат;
  • преобразование абсолютных величин на графике.
Общий вид функции Преобразование
y =a f(x)
Растягивание графика от оси абсцисс в а раз
y = f(bx)
Сжатие графика к оси ординат в b раз
y = f(x+с)
Параллельный перенос графика вдоль оси абсцисс на | с | единиц
  • влево, если с> 0;
  • вправо, если с< 0.
y = f(x)+d
Параллельный перенос графика вдоль оси ординат на | d | единиц
  • вверх, если d> 0,
  • вниз, если d < 0.
y = f( - x)
Симметрическое отображение графика относительно оси абсцисс
y = - f(x)
Симметрическое отображение графика относительно оси ординат
y = | f(x)|
  • При f(x)> 0 график остается без изменений,
  • при f(x)< 0 график симметрически отображается относительно оси абсцисс.
y = f( | x | )
  • При x > 0 график остается без изменений,
  • при x < 0 график симметрично отображается относительно оси ординат.

Hosting Ukraine