Математика онлайн

FIZMA.neT - математика онлайн

Головна

Математика

Алгебра

Геометрія

Інформатика

Призначення кнопок панелі онлайн розрахунків

Генерувати - виконується постановка задачі (у довільні поля вносяться випадкові числа. Задача має єдиний розв'язок)
Розрахувати - перевіряється правильність розв'язування довільної задачі (Виводиться повідомлення про неправильні значення)
Перевірити - перевіряється правильність розв'язування згенерованої задачі (Виводиться повідомлення про неправильні значення)
Мінікалькулятор дозволяє виконувати прості розрахунки. Виберіть, при потребі, функцію. Внесіть у перше поле вираз (в тому числі і з дужками)
2*(2+2). Натисніть = і результат з'явиться у другому полі. Кнопка 0 дозволяє округлити результат до чотирьох значущих цифр. Кнопка < дозволяє перенести результат у перше поле.

Теорія ймовірностейWikipedia

Онлайн-розрахунки

i	x_i	\|x_i-M\|	(x_i-M)²
1
2
3
4
5
Сума
Середнє

1. За відомими значеннями n та k обчисліть кількість перестановок, розміщень та комбінацій елементів

2. У результаті досліду отримано такі значення випадкової величини. Обчисліть деякі статистичні характеристики цієї величини. (Дані подані праворуч)

1.
n=;
k=;

P_n=;
A_n^k=;
C_n^k=.

x_max=;
x_min=;
R=;

M=;
a=;
D=;
σ=;

ρ=;
m=;
v=;
Мода=;
Медіана=;

Теорія ймовірностей

Означення. Вірогідною називається подія, яка за заданих умов обов'язково станеться в даному досліді.

Наприклад, при киданні монети приймемо за подію падіння монети на поверхню. Тоді ця подія буде вірогідною.

Означення. Неможливою називається подія, яка за даних умов не може ніколи відбутися.

Наприклад, трьома пострілами не можна вразити п'ять мішеней.

Означення. Випадковою називається подія, яка за даних умов може відбутися, а може й не відбутися.

Наприклад, випадання герба чи цифри при однократному киданні монети; стрільба, коли дев'ятьма патронами треба вразити три мішені.

Означення. Подія називається детермінованою (передбачуваною) якщо можна наперед передбачити результат досліду чи дослідження.

Означення. Дві випадкові події A і B називаються несумісними, якщо поява однієї з них виключає появу іншої в даному досліді. Інакше – сумісними.

Наприклад, якщо подія А полягає у приході на лекцію, а В – у відсутності на лекції, то ці дві події несумісні. Якщо ви прийшли на лекцію, то подія В не може відбутися. Якщо ви граєте в монету, то випадання герба виключає випадання цифри.

Означення. Події називаються рівноможливими, якщо за даних умов однакова вірогідність появи подій А і В.

Наприклад, при однократному киданні монети рівноможливі події появи герба і числа.

Означення. Події називаються єдиноможливими, якщо поява тільки однієї з них є вірогідною подією.

Наприклад, події появи герба чи цифри при одноразовому киданні монети є єдиноможливими.

Означення. Подія -А називається протилежною події А, якщо подія -А, полягає в тому, що подія А не відбулася.

Наприклад, при одному пострілі єдино можливими є дві події: А – попадання, -А – промах.

Елементи комбінаторики

Означення. Факторіалом числа n називається добуток послідовних натуральних чисел від 1 до n. n! = 1•2•3•...•n.

Перестановки

Означення. Перестановками з n елементів називаються такі сполуки з n елементів, що відрізняються одна від одної лише порядком елементів.

Число перестановок з n елементів позначають Р_n.

З елементів a₁, a₂, a₃ можна скласти такі перестановки: a₁a₂a₃; a₁a₃a₂; a₂a₁a₃; a₂a₃a₁; a₃a₁a₂; a₃a₂a₁.

Теорема. Число перестановок із n елементів обчислюється за формулою: P_n = n!

Розміщення

Означення. Розміщеннями із n елементів по k називаються сполуки, що мають по k елементів, взятих із заданих n елементів, і відрізняються одна від одної хоча б одним елементом або їх порядком.

Число розміщень позначається A^k_n .

Із трьох елементів: а₁, а₂, а₃ можна скласти три сполуки по одному предмету: а₁; а₂, а₃. Сполук по два буде шість: a₁a₂ ; a₁a₃; a₂a₃; a₂a₁; a₃a₁; a₃a₂. Сполук по три буде шість: а₁a₂a₃; a₁a₃a₂; a₃a₁a₂; a₃a₂a₁; a₂a₁a₃; a₂a₃a₁.

Теорема. Число розміщень з n елементів по k обчислюється $A^{k}_{n} = {n!}/{(n-k)!}$ .

Комбінації

Означення. Комбінаціями із n елементів по k називаються сполуки, що мають по k елементів, взятих із заданих n елементів, і відрізняються одна від одної хоча б одним елементом.

Число комбінацій позначається C^k_n .

З елементів a₁, a₂, a₃ можна скласти три комбінації по два: a₁a₂ ; a₁a₃; a₂a₃.

Теорема. Число комбінацій з n елементів по k обчислюється $C^{k}_{n} = {n!}/{(n-k)!k!}$ .

Ймовірність подій

Класична ймовірність

Означення. У випадку коли ймовірність оцінюють без проведення дослідів, вона називається класичною і позначається Р(А) або p(А).

,	де: n – загальна кількість можливих подій; m – кількість подій, які нас задовольняють.

Статистична ймовірність

Означення. У випадку коли ймовірність випадкової події А визначають на основі дослідів – статистичною і позначається Р*(А) або p*(А).

$P^*(A) = {lim}under{n right infty} {m}/{n}$ ,

де: n – загальна кількість дослідів;

m – кількість дослідів в результаті яких подія А настала.

Ймовірність вимірюється у процентах але в переважній більшості просто дробом. Але є обмеження 0 ≤ Р ≤ 1.

Принцип значущості подій

Дуже часто при розгляданні ймовірностей сукупності подій доводиться зустрічатися з такими, в яких імовірності близькі до нуля чи одиниці. Величину відхилення ймовірності події від нуля чи від одиниці називають рівнем значущості події. Звідси випливає принцип значущості події: в практичних задачах ймовірності, близькі до нуля або до одиниці, відповідно замінюють нулем чи одиницею.

Вказати єдиний критерій принципу відкидання малих імовірностей не можна. Все залежить від характеру події.

Наприклад, якщо рівень значущості події, що полягає в розкритті парашута, 0,01, то такий парашут застосувати не можна. Якщо такий самий рівень значущості буде у події, яка полягає у відхиленні часу руху поїзда від розкладу на 0,01, то це цілком можливо.

Теореми додавання та множення ймовірностей

Теорема. Якщо ймовірність події А рівна Р(А) то ймовірність протилежної події -А рівна Р(-А)=1–Р(А).

Теорема (додавання ймовірностей)

Ймовірність настання хоча б однієї із двох несумісних подій дорівнює сумі ймовірностей кожної із них. Р(АUВ)=Р(А)+Р(В)

Теорема (множення ймовірностей)

Ймовірність настання відразу двох сумісних подій дорівнює добутку ймовірностей кожної із них Р(А∩В)=Р(А)•Р(В).

Теореми додавання та множення ймовірностей можна поширити на будь-яку кількість подій.

Формула повної ймовірності

Означення. Кількісна оцінка появи події А за умови, що подія В відбулася, називається умовною ймовірністю виконання події А за умови, що подія В виконалась Р_В(А).

Теорема. Ймовірність настання події А, яка може настати лише у випадку настання події В рівна добутку ймовірності події В на умовну ймовірність події А за умови, що подія В настала Р(А)=Р(В)•Р_В(А).

Цю формулу можна поширити на будь-яку кількість подій.

Теорема. Нехай В₁, В₂, ..., В_n – попарно несумісні події при настанні яких може настати подія А тоді ймовірність настання події А розраховується за формулою (повної ймовірності) Р(А)=Р(В₁)•Р_В₁(А)+Р(В₂)•Р_В₂(А)+...+Р(В_n)•Р_{В_n}(А)

де: Р(В₁), Р(В₂), ..., Р(В_n) – ймовірності настання подій В₁, В₂, ..., В_n;

Р_В₁(A), Р_В₂(A), ..., Р_{В_n}(A) – умовні ймовірності настання події А за умови що події В₁, В₂, ..., В_n вже наступили.

Схема Бернуллі

Означення. Випробування називаються незалежними, якщо результат кожного випробування не залежить від результатів попередніх.

Означення. Незалежні події, в кожній з яких лише два результати, називаються випробуваннями Бернуллі. Наприклад кидання монети.

Теорема (Бернулі). Ймовірність P_n(k) того, що в послідовності із n випробувань в схемі Бернулі подія А настане рівно k разів розраховується за формулою P_n^k = C_n^k p^k (1-p)^n-k = C_n^k p^k q^n-k.

Дискретні та неперервні випадкові величини

Означення. Функція, визначена на незчисленній або на зчисленній множині результатів (елементарних подій), називається випадковою величиною.

Означення. Дискретною випадковою величиною називається величина, можливі значення якої можуть бути пронумеровані в якомусь порядку і записані у вигляді послідовності х₁, х₂, ..., х_n, ... .

Означення. Неперервною називають випадкову величину, яка приймає всі значення з деякого скінченого чи нескінченного проміжку.

Означення. Співвідношення між можливими значеннями випадкової величини та їхніми ймовірностями дістало назву закону розподілу випадкової величини.

Закон розподілу дискретної випадкової величини може бути виражений таблицею, графіком або аналітично.

Характеристики дискретної випадкової величини Wikipedia

Приклад обчислення
деяких статистичнних показників

Означення. Математичним сподіванням дискретної випадкової величини називається $M = {1}/{n} sum{i=1}{n}{x_i p_i}$ .

Якщо величина Х може набувати всіх можливих значень із однаковою ймовірністю, тоді говорять про середнє арифметичне значення $M = {1}/{n} sum{i=1}{n}{x_i}$ .

Означення. Мода - це значення, яке трапляється найчастіше. Якщо кілька значень повторюються однакову максимальну кількість разів, то в такому випадку моду визначити не можливо.

Означення. Медіана - це значення, яке ділить множину навпіл, так що одна половина значень більша від неї, а друга - менша.

Варіація — відмінність значень сукупності.

Для її оцінки можуть використовуватись абсолютні та відносні показники:

Абсолютні показники:

Розмах варіації: R = x_max - x_min

Середнє лінійне відхилення: $a = {1}/{n} sum{i=1}{n}{delim{|}{x_i - M}{|}}$