Математика онлайн
FIZMA.neT - математика онлайн
Hosting Ukraine Hosting Ukraine Hosting Ukraine Hosting Ukraine Hosting Ukraine Hosting Ukraine Hosting Ukraine Hosting Ukraine Hosting Ukraine Hosting Ukraine
Призначення кнопок панелі онлайн розрахунків
Генерувати - виконується постановка задачі (у довільні поля вносяться випадкові числа. Задача має єдиний розв'язок)
Розрахувати - перевіряється правильність розв'язування довільної задачі (Виводиться повідомлення про неправильні значення)
Перевірити - перевіряється правильність розв'язування згенерованої задачі (Виводиться повідомлення про неправильні значення)
Мінікалькулятор дозволяє виконувати прості розрахунки. Виберіть, при потребі, функцію. Внесіть у перше поле вираз (в тому числі і з дужками)
2*(2+2). Натисніть = і результат з'явиться у другому полі. Кнопка 0 дозволяє округлити результат до чотирьох значущих цифр. Кнопка < дозволяє перенести результат у перше поле.

Теория вероятностейWikipedia

Десяткові дроби Онлайн-розрахунки
i xi |xi-M| (xi-M)2
1
2
3
4
5
Сумма
Среднее

1. По известным значениям n и k вычислите количество перестановок, размещений и комбинаций элементов

2. В результате опыта получены следующие значения случайной величины. Вычислите некоторые статистические характеристики этой величины. (Данные представлены справа)




1.
n=;
k=;
Pn=;
Ank=;
Cnk=.
2. xmax=;
xmin=;
R=;
M=;
a=;
D=;
σ=;
ρ=;
m=;
v=;
Мода=;
Медиана=

Теория вероятностей

Определение. Достоверным называется событие, которое при заданных условиях обязательно произойдет в данном опыте.

Например, при бросании монеты примем за событие падение монеты на поверхность. Тогда это событие будет достоверным.

Определение. Невозможным называется событие, которое при данных условиях не может никогда состояться.

Например, тремя выстрелами нельзя поразить пять мишеней.

Определение. Случайным называется событие, которое при данных условиях может состояться, а может и не состояться.

Например, выпадение герба или цифры при однократном бросании монеты; стрельба, когда девятью патронами нужно поразить три мишени.

Определение. Событие называется детерминированным (предполагаемым) если можно заранее предусмотреть результат опыта или исследования.

Определение. Два случайных события A и B называются несовместимыми, если появление одного из них исключает появление другого в данном опыте. Иначе – совместимыми.

Например, если событие А заключается в приходе на лекцию, а В – в отсутствии на лекции, то эти два события несовместимые. Если вы пришли на лекцию, то событие В не может состояться. Если вы играете в монету, то выпадение герба исключает выпадение цифры.

Определение. События называются равновозможными, если при данных условиях одинаковая достоверность появления событий А и В.

Например, при однократном бросании монеты равновозможны события появления герба и числа.

Определение. События называются единовозможным, если появление только одного из них является достоверным событием.

Например, события появления герба или цифры при одноразовом бросании монеты есть единовозможными.

Определение. Событие -А называется противоположным событию А, если событие -А, заключается в том, что событие А не состоялась.

Например, при одном выстреле единственно возможными является два события: А – попадание, -А – промах.

Элементы комбинаторики

Определение. Факториалом числа n называется произведение последовательных натуральных чисел от 1 к n. n! = 1•2•3•...•n.

Перестановки

Определение. Перестановками из n элементов называются такие соединения из n элементов, которые отличаются одна от другой только порядком элементов.

Число перестановок из n элементов записывают Рn.

Из элементов a1, a2, a3 можно составить такие перестановки: a1a2a3; a1a3a2; a2a1a3; a2a3a1; a3a1a2; a3a2a1.

Теорема. Число перестановок из n элементов вычисляется по формуле: Pn = n!

Размещения

Определение. Размещениями из n элементов по k называются соединения, которые имеют по k элементов, взятых из заданных n элементов, и отличаются одна от другой хоть одним элементом или их порядком.

Число размещений записывают Akn .

Из трех элементов: а1, а2, а3 можно составить три размещения по одному предмету: а1; а2, а3. Размещений по два будет шесть: a1a2 ; a1a3; a2a3; a2a1; a3a1; a3a2. Размещений по три будет шесть: а1a2a3; a1a3a2; a3a1a2; a3a2a1; a2a1a3; a2a3a1.

Теорема. Число размещений из n элементов по k вычисляется A^{k}_{n} = {n!}/{(n-k)!} .

Сочетания

Определение. Сочетаниями из n элементов по k называются соединения, которые имеют по k элементов, взятых из заданных n элементов, и отличаются одна от другой хотя бы одним элементом.

Число сочетаний записывают Ckn .

С элементов a1, a2, a3 можно составить три сочетания по два: a1a2 ; a1a3; a2a3.

Теорема. Число сочетаний из n элементов по k вычисляется C^{k}_{n} = {n!}/{(n-k)!k!}.

Вероятность событий
Классическая вероятность

Определение. В случае, когда вероятность оценивают без проведения опытов, она называется классической и записывется Р(А) или p(А) .

P(A)={m}/{n}, где: n – общее количество возможных событий;

m – количество событий, которые нас удовлетворяют.

Статистическая вероятность

Определение. В случае, когда вероятность случайного события А определяют на основе опытов – статистической и записывается Р*(А) или p*(А) .

P^*(A)= {lim}under{n right infty} {m}/{n},

где: n – общее количество опытов;

m – количество опытов, в результате которых событие А наступило.

Вероятность измеряется в процентах, но в большинстве случаев просто дробью. Есть ограничение 0 ≤ Р ≤ 1.

Принцип значимости событий

Очень часто при рассмотрении вероятностей совокупности событий придется встречаться с такими, в которых вероятности близки к нулю или единице. Величину отклонения вероятности события от нуля или от единицы называют уровнем значимости события. Отсюда следует принцип значимости событий: в практических задачах вероятности, близкие к нулю или к единице, соответственно заменяют нулем или единицей.

Указать единственный критерий принципа отбрасывания малых вероятностей нельзя. Все зависит от характера события.

Например, если уровень значимости события, которое заключается в раскрытии парашюта, 0,01, то такой парашют применить нельзя. Если такой же уровень значимости будет у события, которое заключается в отклонении времени движения поезда от расписания на 0,01, то это весьма возможно.

Теоремы сложения и умножения вероятностей

Теорема. Если вероятность события А равна Р(А) то вероятность противоположного события равна Р(-А)=1–Р(А).

Теорема (сложения вероятностей)

Вероятность наступления хотя бы одного из двух несовместимых событий равняется сумме вероятностей каждого из них. Р(АUВ)=Р(А)+Р(В)

Теорема (умножение вероятностей)

Вероятность наступление сразу двух совместимых событий равняется произведению вероятностей каждого из них Р(А∩В)=Р(А)• Р(В) .

Теоремы сложения и умножения вероятностей можно распространить на любое количество событий.

Формула полной вероятности

Определение. Количественная оценка появления события А при условии, что событие В состоялось, называется условной вероятностью выполнения события А при условии, что событие В выполнилось РВ(А) .

Теорема. Вероятность наступления события А, которое может наступить лишь в случае наступления события В, равна произведению вероятности события В на условную вероятность события А при условии, что событие В наступило Р(А)=Р(В)•РВ(А).

Эту формулу можно распространить на любое количество событий.

Теорема. Пусть В1, В2 ..., Вn – попарно несовместимые события при наступлении которых может наступить событие А, тогда вероятность наступления события А рассчитывается за формулой (полной вероятности) Р(А)=Р(В1)•РВ1(А)+Р(В2)•РВ2(А)+...+Р(Вn)•РВn(А)

где: Р(В1), Р(В2) ..., Р(Вn) – вероятности наступления событий В1, В2 ..., Вn;

РВ1(A), Рв2(A) ..., Рвn(A) – условные вероятности наступления события А при условии что события В1, В2 ..., Вn уже наступили.

Схема Бернулли

Определение. Испытания называются независимыми, если результат каждого испытания не зависит от результатов предыдущих.

Определение. Независимые события, в каждой из которых лишь два результата, называются испытаниями Бернулли. Например бросания монеты.

Теорема (Бернулли) . Вероятность Pn(k) того, что в последовательности из n испытаний в схеме Бернулли событие А наступит ровно k раз рассчитывается за формулой Pnk = Cnk pk (1-p) n-k = Cnk pk qn-k.

Дискретные и непрерывные случайные величины

Определение. Функция, определенная на неисчислимом или на исчислимом множестве результатов (элементарных событий), называется случайной величиной.

Определение. Дискретной случайной величиной называется величина, возможные значения которой могут быть пронумерованы в каком-то порядке и записаны в виде последовательности х1, х2 ..., хn ... .

Определение. Непрерывной называют случайную величину, которая принимает все значения из некоторого конечного или бесконечного промежутка.

Определение. Соотношение между возможными значениями случайной величины и их вероятностями достало название закона равпределения случайной величины.

Закон распределению дискретной случайной величины может быть выраженный таблицей, графиком или аналитически.

Характеристики дискретной случайной величины


Пример вычисления
некоторых статистических показателей
Определение. Математическим ожиданием дискретной случайной величины называется M = {1}/{n} sum{i=1}{n}x_i p_i}.

Если величина Х может приобретать все возможные значения с одинаковой вероятностью, тогда говорят о среднем арифметическом значении M = {1}/{n} sum{i=1}{n}x_i}.

Определение. Мода - это значение, которое случается чаще всего. Если несколько значений повторяются одинаковое максимальное количество раз, то в таком случае моду определить не возможно.

Определение. Медиана - это значение, которое делит множественное число пополам, так что одна половина значений больше от нее, а вторая - более малая.

Вариация — отличие значений совокупности.

Для ее оценки могут использоваться абсолютные и относительные показатели:

Абсолютные показатели:

Размах вариации: R = xmax - xmin

Среднее линейное отклонение: a = {1}/{n} sum{i=1}{n}{delim{|}{x_i - M}{|}}

Дисперсия:

Среднеквадратическое отклонение: sigma = sqrt{D}

Относительные показатели:

Относительный размах вариации (коэффициент осцилляции) rho = {R}/{M}

Относительное отклонение по модулю (линейный коэффициент вариации) m = {a}/{M}

Коэффициент вариации v = {sigma}/{M}

Некоторые из этих показателей проще вычислять используя таблицу.


Hosting Ukraine