Математика онлайн

FIZMA.neT - математика онлайн

Головна

Математика

Алгебра

Геометрія

Інформатика

Призначення кнопок панелі онлайн розрахунків

Генерувати - виконується постановка задачі (у довільні поля вносяться випадкові числа. Задача має єдиний розв'язок)
Розрахувати - перевіряється правильність розв'язування довільної задачі (Виводиться повідомлення про неправильні значення)
Перевірити - перевіряється правильність розв'язування згенерованої задачі (Виводиться повідомлення про неправильні значення)
Мінікалькулятор дозволяє виконувати прості розрахунки. Виберіть, при потребі, функцію. Внесіть у перше поле вираз (в тому числі і з дужками)
2*(2+2). Натисніть = і результат з'явиться у другому полі. Кнопка 0 дозволяє округлити результат до чотирьох значущих цифр. Кнопка < дозволяє перенести результат у перше поле.

Первісна. Інтеграл

Онлайн-розрахунки				Графічне представлення
Обчисліть визначений інтеграл використовуючи формулу Ньютона-Лейбніца. (Не всі інтеграли можна обчислити) Тут можна знаходити первісні лише від степеневої функції, функцій Sin x та Cos x.
	x	dx= x	= - = .
Замітьте, що ми обчислюємо визначений інтеграл а не площу фігури обмеженої лініями. Це різні задачі. Площа є невід'ємним числом. Задачі будуть однаковими лише у випадку коли задана функція є неперервною та додатньою на вказаному проміжку.

Поняття первісної Wikipedia

Таблиця первісних

Означення. Функція F(x) на заданому проміжку називається первісною для функції f(x), для всіх x з цього проміжку, якщо F'(x)=f(x).

Операція знаходження первісної для функції називається інтегруванням. Вона є оберненою до операції диференціювання.

Теорема. Всяка неперервна на проміжку функція (x) має первісну на цьому проміжку.

Теорема (основна властивість первісної). Якщо на деякому проміжку функція F(x) є первісною для функції f(x), то на цьому проміжку первісною для f(x) буде також функція F(x)+C, де C довільна стала.

З цієї теореми випливає, що коли f(x) має на заданому проміжку первісну функцію F(x), то цих первісних безліч. Надаючи C довільних числових значень, кожного разу діставатимемо первісну функцію.

Для знаходження первісних користуються таблицею первісних. Вона отримується із таблиці похідних.

Невизначений інтеграл Wikipedia

Поняття невизначеного інтегралу

Означення. Множина всіх первісних функцій для функції f(x) називається невизначеним інтегралом і позначається int{}{}{f(x)dx} .

При цьому f(x) називається підінтегральною функцією, а f(x)dx - підінтегральним виразом.

Отже, якщо F(x), є первісною для f(x), то int{}{}{f(x)dx}=F(x)+C .

Властивості невизначеного інтегралу

Визначений інтеграл Wikipedia

Поняття визначеного інтегралу

Розглянемо плоску фігуру, обмежену графіком неперервної та невід’ємної на відрізку [a; b] функції f(x), відрізком [a; b], та і прямими x=a та x=b.

Отримана фігура називається криволінійною трапецією. Обчислимо її площу.

Для цього розіб’ємо відрізок [a; b] на n рівних відрізків. Довжини кожного з відрізків дорівнюють Δx.

Це динамічний малюнок GeoGebra.
Червоні елементи можна змінювати

Рис. 1. Поняття визначеного інтегралу

На кожному відрізку, побудуємо прямокутники з висотами f(x_k-1) (Рис. 1).

Площа кожного такого прямокутника дорівнює S_k = f(x_k-1)Δx_k.

Площа всіх таких прямокутників дорівнює .

Цю суму називають інтегральною сумою для функції f(x).

Якщо n→∞ то площа побудованої таким чином фігури буде все менш відрізнятись від площі криволінійної трапеції.

Означення. Границя інтегральної суми коли n→∞ називається визначеним інтегралом, і записується це так :.

читається: "інтеграл від a до b f від xdx"

Число а називається нижньою межею інтегрування, b – верхньою межею інтегрування, відрізок [a; b] – проміжок інтегрування.

Властивості визначеного інтегралу

Формула Ньютона-Лейбніца

Визначений інтеграл тісно пов’язаний із первісною та невизначеним інтегралом формулою Ньютона- Лейбніца

int{a}{b}{f(x)dx}=delim{}{F(x)}{|} matrix {2}{1}{b a}=F(b)-F(a) .

Застосування інтегралу

Інтегральне числення широко використовується при розв’язуванні різноманітних практичних задач. Розглянемо деякі з них.

Обчислення площі криволінійної трапеції

Нехай задано на площині деяку фігуру обмежену лініями x=a, x=b, y=f(x), y=g(x). (Рис. 2). Тоді її площа буде отримуватись інтегруванням різниці між верхньою та нижньою функцією на даному проміжку

Обчислення об’ємів тіл

Нехай задана функція, яка задає площу поперечного перерізу тіла в залежності від деякої змінної S = s(x), x[a; b]. Тоді об’єм даного тіла можна знайти проінтегрувавши дану функцію у відповідних межах
Якщо нам задане тіло, яке отримане обертанням навколо осі Ох криволінійної трапеції обмеженої деякою функцією f(x), x [a; b]. (Рис. 3). То площі поперечних перерізів можна обчислити за відомою формулою S = π f ²(x). Тому формула об’єму такого тіла обертання	$V= pi int{a}{b}{f^2(x)dx}$
Аналогічно для осі Oy, y[c; d]	$V= pi int{c}{d}{f^2(y)dy}$

Рис.2. Криволінійна трапеція на площині

Рис. 3. Приклад тіла обертання

Механічний та економічний зміст інтегралу

Відстань, яку пройде тіло що рухається прямолінійно і змінює свою швидкість за законом v = v(t) за проміжок часу (t₀; t₁) можна знайти за формулою	$S= int{t_1}{t_2}{v(t)dt}$
Якщо задана залежність продуктивності праці від часу А(t), тоді визначеним інтегралом від даної функції буде кількість продукції виготовленої за проміжок часу (t₀; t₁)	$S= int{t_1}{t_2}{A(t)dt}$

При використанні невизначеного інтегралу ми будемо отримувати функцію, а при використанні визначеного – значення певної величини.

Поняття диференціального рівняння

Означення. Рівняння, яке містить невідому функцію та її похідні, називається диференціальним рівнянням.

Наприклад рівняння yy'+x=0.