Математика онлайн
FIZMA.neT - математика онлайн
Hosting Ukraine Hosting Ukraine Hosting Ukraine Hosting Ukraine Hosting Ukraine Hosting Ukraine Hosting Ukraine Hosting Ukraine Hosting Ukraine Hosting Ukraine
Призначення кнопок панелі онлайн розрахунків
Генерувати - виконується постановка задачі (у довільні поля вносяться випадкові числа. Задача має єдиний розв'язок)
Розрахувати - перевіряється правильність розв'язування довільної задачі (Виводиться повідомлення про неправильні значення)
Перевірити - перевіряється правильність розв'язування згенерованої задачі (Виводиться повідомлення про неправильні значення)
Мінікалькулятор дозволяє виконувати прості розрахунки. Виберіть, при потребі, функцію. Внесіть у перше поле вираз (в тому числі і з дужками)
2*(2+2). Натисніть = і результат з'явиться у другому полі. Кнопка 0 дозволяє округлити результат до чотирьох значущих цифр. Кнопка < дозволяє перенести результат у перше поле.

Окружность и ее элементы Wikipedia

Десяткові дроби Онлайн-розрахунки Графическое представление
Графічне представлення задачі
Известны некоторые элементы окружности. Заполните поля, которые можно вычислить.





r = ;
d = ;
Центральній угол
α = ° = радіан;
Вписаній угол
β = ° = радіан;

Длина окружности
l = ;
Длина дуги
lα = ;
Площадь
S = ;
Ssek = ;
Sseg = ;

Окружность

Рис. 1. Окружность и ее элементи
r - радиус; d - диаметр;
a - секущая; b - касательная;
D - точка касания; CD - хорда;

Определение. Окружностью называется геометрическое место точек плоскости, равноудаленных от заданной точки (центра) окружности (рис.1).

Определение. Расстояние от произвольной точки на окружности к его центру называется радиусом окружности (рис.1).

Определение. Отрезок, который соединяет две точки окружности и проходит через центр называется диаметром окружности (рис.1).

Длина диаметра окружности равняется двум радиусам.

Определение. Окружность называется единичной, если ее радиус равняется единице.

Определение. Длина единичной окружности равна радиан.

Единичная окружность является одним из основных объектов тригонометрии.

Пересечение прямой и окружности

Определение. Прямая, которая имеет с окружностью две разных общих точки, называется секущей (рис.1).

Определение. Прямая, которая имеет с окружностью лишь одну общую точку, называется касательной, а общая точка – точкой касания (рис.1).

Теорема. Радиус (диаметр) окружности, который проведен в точку касания перпендикулярен к касательной (рис.1).

Это динамический рисунок GeoGebra.
Красные элементы можно изменять

Окружность и ее элементы
Хорда

Определение. Отрезок, который соединяет две точки окружности, называется хордой (рис.1).

Свойства хорд

- Если хорды равноудаленные от центра окружности, то они равны.

- Если хорды равны, то они равноудаленные от центра окружности.

- Большая из двух хорд находится ближе к центру окружности.

- Хорда, которая проходит через центр есть диаметром окружности.

- Наибольшая хорда является диаметром.

- Если диаметр делит хорду пополам, то он перпендикулярен ей.

- Если диаметр перпендикулярен хорде, то он делит ее пополам.

- При пересечении двух хорд произведение отрезков, на которые делится одна из них точкой пересечения, равняется произведению отрезков другой.

Дуги и углы в окружности

Определение. Любые две точки A и B на окружности разбивают ее на две части, каждая из этих частей называется дугой (рис.2).


Рис. 2. Дуги и углы в окружности
∪AC, ∪ABC - дуги;
<AOC - центральный угол;
<ABC - вписанный угол

Если две стороны угла проходят через эти две точки, то говорят, что угол опирается на дугу (стягивает дугу).

Равные дуги стягиваются равными хордами.

Дуги, полученные между параллельными хордами, равны.

Определение. Угол, вершина которого лежит в центре окружности, а стороны пересекают эту окружность в двух точках, называется центральным углом (рис.2).

Определение. Угловой мерой дуги окружности называется угловая мера соответствующего центрального угла.

Сумма угловых мер двух полученных дуг равняется 360o или радиан. (в зависимости от единиц измерения)

Углы, как правило, измеряют в градусах или радианах.

Для заданной окружности угловая мера дуги пропорциональна ее длине:

Определение. Угол, который образуется дугой окружности, который равняется по длине радиусу окружности, принимается за 1 радиан.

Определение. Полуокружность – это дуга, для которой отрезок, который соединяет ее концы, есть диаметром.

Теоремы об углах в окружности

Определение. Угол, вершина которого лежит на окружности, а стороны пересекают эту окружность в двух точках, называется вписанным в окружность (рис.2).

Теорема. Вписанный в окружность угол, стороны которого проходят через две данные точки окружности, равняется половине центрального угла, проведенного в эти точки, или дополняет половину центрального угла к 180o (рис.2).

Эта теорема может быть сформулирована по-другому:

Теорема. Вписанный в окружность угол равняется половине центрального угла, который опирается на ту же дугу в середине угла (рис.2).

Следствие. Вписанные углы, которые опираются на одну и ту же дугу, равны.

Следствие. Углы, которые опираются на диаметр, равняются 90 °.


<AED = ½(∪AB-∪CD)
Рис. 5. Угол между секущими

<AEB = ½(∪AB+∪CD)
Рис. 4. Угол между хордами

<ABC = ½∪AB
Рис. 3. Угол между хордой и касательной
Теорема. Угловая мера угла, между хордой и касательной к окружности, проведенной через конец хорды, равняется половине угловой меры дуги, которая лежит в данном углу.

Теорема. Угловая мера угла между хордами равняется полусумме угловых мер дуг, которые принадлежат данному углу, и соответствующему вертикальному углу.

Теорема. Угловая мера угла между секущими равняется полуразнице дуг, которые лежат в данном углу.

Отрезки касательные к окружности, проведенные из одной точки, равны и образуют равные углы с прямой, которая проходит через эту точку и центр окружности.

Теорема. Через три точки, которые не лежат на одной прямой, можно провести окружность, и притом только одну.

Круг и его элементи


Рис. 6. Круговой сегмент


Рис. 5. Круговой сектор

Определение. Геометрическое место точек, расстояние от которых к центру круга не превышает радиус, называется кругом.

Определение. Область круга, ограниченная двумя радиусами и дугой называется сектором.

Определение. Область круга, ограниченная хордой и дугой, называется сегментом.

Формулы связанные с окружностью и кругом

Диаметр окружности: d = 2r, где: r - радиус окружности.

Длина окружности: l = 2 π r = π d.

Длина дуги окружности: l_alpha~=~{pi r alpha^circ}/{180}~=~r alpha,~~~alpha^circ - угол в градусах alpha - угол в радианах.

Площадь круга S~=~pi r ^ 2~=~{pi d ^ 2}/{4}.

Площадь сектора S_sek~=~{pi r ^ 2 alpha^circ}/{360}~=~{r ^ 2 alpha}/{2}.

Площадь сегмента S_seg~=~{r ^ 2}/{2} ({pi alpha^circ}/{180}~-~Sin alpha^circ)~=~{r ^ 2}/{2} (alpha~-~Sin alpha).

Общее уравнение окружности с центром в точке А(xo;yo) и радиусом r : (x - xo) 2 + (y - yo)2 = r 2.


Hosting Ukraine