Призначення кнопок панелі онлайн розрахунків
Генерувати - виконується постановка задачі (у довільні поля вносяться випадкові числа. Задача має єдиний розв'язок)
Розрахувати - перевіряється правильність розв'язування довільної задачі (Виводиться повідомлення про неправильні значення) Перевірити - перевіряється правильність розв'язування згенерованої задачі (Виводиться повідомлення про неправильні значення) Мінікалькулятор дозволяє виконувати прості розрахунки. Виберіть, при потребі, функцію. Внесіть у перше поле вираз (в тому числі і з дужками) 2*(2+2). Натисніть = і результат з'явиться у другому полі. Кнопка 0 дозволяє округлити результат до чотирьох значущих цифр. Кнопка < дозволяє перенести результат у перше поле. Прямі і площини у просторі
Аксіоми стереометрії
 Якщо A  α, Aβ , тоді a, Aa, α∩β=a Рис. 2. До аксіоми С2  Якщо a∩b=A, тоді !a, aα, bαРис. 3. До аксіоми С3  A α, B αРис. 1. До аксіоми С1 Означення. Стереометрія — це розділ геометрії, у якому вивчаються фігури у просторі. Основними фігурами у просторі є точка, пряма і площина. Введення нового геометричного образу – площини, потребує розширення системи аксіом, тому ми вводимо групу аксіом С, яка виражає основні властивості площин у просторі. С1. Яка б не була площина, існують точки, що належать цій площині, і точки, які не належать їй (Рис. 1). С2. Якщо дві різні площини мають спільну точку, то вони перетинаються по прямій (Рис. 2). С3. Якщо дві різні прямі мають спільну точку, то через них можна провести площину, і до того ж тільки одну (Рис. 3). Зауваження. У планіметрії ми мали одну площину, на якій розміщувались усі розглядувані нами фігури. У стереометрії нескінченно багато площин. У зв'язку з цим формулювання деяких аксіом потребують уточнення. ІІ2. Пряма, яка належить площині, розбиває цю площину на дві півплощини. IV2. Від півпрямої на площині, яка містить її, у задану півплощину можна відкласти кут заданої градусної міри, меншої 180°, і до того ж тільки один. IV3. Який би не був трикутник, існує трикутник, що дорівнює йому, у даній площині із заданим розміщенням відносно даної пів прямої на цій площині. V. На площині через точку, яка не лежить на даній прямій, можна провести не більше однієї прямої, паралельної даній. Наслідки аксіом стереометрії
Теорема. Через пряму і точку, яка не лежить на ній, можна провести площину і до того ж тільки одну (Рис. 4). Теорема. Якщо дві точки прямої належать площині, то вся пряма належить цій площині (Рис. 5). 3 теореми випливає, що площина і пряма, яка не лежить на ній, або не перетинаються, або перетинаються в одній точці. Теорема. Через три точки, які не лежать на одній прямій, можна провести площину і до того ж тільки одну (Рис. 6). Паралельність у просторі
Паралельність прямих у просторі
 Якщо a||b, b||c, тоді a||c Рис. 10. Три паралельні прямі  Якщо B a, тоді !b, Bb, b||a Рис. 9.  Рис. 8. Мимобіжні прямі  Рис. 7. Паралельні прямі Означення. Дві прямі в просторі називаються паралельними, якщо вони лежать в одній площині й не перетинаються (Рис. 7). Означення. Прямі, які не перетинаються і не лежать в одній площині, називаються мимобіжними (Рис. 8). Теорема. Через точку поза даною прямою можна провести пряму, паралельну цій прямій, і до того ж тільки одну (Рис. 9). Теорема. Дві прямі, паралельні третій прямій, паралельні між собою (Рис. 10). Паралельність прямої і площини у просторі
 Якщо B α, тоді !β, Bβ, β||αРис. 15. Паралельна площина проведена через точку поза даною площиною  Якщо a α, bα, a∩b=A, β||a, β||b, тоді β||α Рис. 14. Площина паралельна до двох прямих другої площини  Рис. 13. Паралельні площини  Якщо b α, b||a, aα , тоді b||α Рис. 12. Пряма, паралельна до прямої на площині  Рис. 11. Пряма, паралельна до площини
 Якщо α||β, a||b, a∩α=A1, a∩β=A2, b∩α=B1, b∩β=B2, тоді A1A2 = B1B2 Рис. 17. Паралельні площини перетинають паралельні прямі  Якщо α||β, γ  α, γβ, γ∩α=a, γ∩β=b, тоді a||b Рис. 16. Площина, яка перетинає паралельні площини Означення. Пряма і площина називаються паралельними, якщо вони не перетинаються (Рис. 11). Теорема. Якщо пряма, яка не належить площині, паралельна якій-небудь прямій у цій площині, то вона паралельна і самій площині (Рис. 12). Означення. Дві площини називаються паралельними, якщо вони не перетинаються (Рис. 13). Теорема. Дві площини паралельні, якщо одна з них паралельна двом прямим, які лежать у другій площині і перетинаються (Рис. 14). Теорема. Через точку поза даною площиною можна провести площину, паралельну даній, і до того ж тільки одну (Рис. 15). Теорема. Якщо дві паралельні площини перетинаються третьою, то прямі їх перетину паралельні (Рис. 16). Теорема. Відрізки паралельних прямих, які містяться між паралельними площинами, рівні (Рис. 17). Паралельне проектування
 Рис. 18. Паралельне проектування Для зображення просторових фігур на площині, як правило, користуються паралельним проектуванням. Через кожну точку фігури у просторі проводимо паралельні прямі, які не є паралельними деякій площині. Ці прямі перетнуть обрану площину утворивши деяку фігуру на ній (Рис. 18). Такий спосіб зображення просторової фігури на площині називається паралельним проектуванням. Властивості паралельного проектування: – Прямолінійні відрізки фігури зображуються на площині малюнка прямолінійними відрізками. – Паралельні відрізки фігури зображуються на площині малюнка паралельними відрізками, або відрізками, що лежать на одній прямій. – Відношення відрізків однієї прямої або паралельних прямих зберігається при паралельному проектуванні. Перпендикулярність у просторі
Препендикулярність прямих у просторі
 Якщо b1∩b2=B, b1||a1, b2||a2, a1 a1, тоді b1b2Рис. 20. Прямі, які паралельні до перпендикулярних прямих  Рис. 19. Перпендикулярні прямі Означення. Дві прямі називаються перпендикулярними, якщо вони перетинаються під прямим кутом (Рис. 19). Теорема. Прямі, які перетинаються і відповідно паралельні перпендикулярним прямим, перпендикулярні (Рис. 20). Перпендикулярність прямої і площини
Означення. Пряма, яка перетинає площину, називається перпендикулярною до цієї площини, якщо вона перпендикулярна до будь-якої прямої, що лежить у площині й проходить через точку перетину даної прямої з площиною (Рис. 21).  1. Якщо a||b, a α, тоді bα2. Якщо a α, bα, тоді a||bРис. 23. Дві прямі перпендикулярні до площини  Якщо b∩α=A, b a1, ba2, A a1, Aa2, , тоді bαРис. 22. Пряма перпендикулярна до прямих на перпендикулярній площині  Рис. 21. Пряма перпендикулярна до площини Теорема. Якщо пряма, яка перетинає площину, перпендикулярна до двох прямих цієї площини, що проходять через точку перетину, то вона перпендикулярна до площини (Рис. 22). Теорема. Якщо площина перпендикулярна до однієї з двох паралельних прямих, то вона перпендикулярна і до другої прямої (Рис. 23). Теорема. Дві прямі, перпендикулярні до однієї і тієї самої площини, паралельні (Рис. 23). Перпендикуляр і похила
 1. Якщо a α, Cα, aBC,,тоді a AC2. Якщо a α, Cα, aAC,,тоді a BCРис. 27. Теорема про три перпендикуляри  Рис. 26. Відстань від прямої до площини  Рис. 25. Похила  Рис. 24. Перпендикуляр до площини. Відстань від точки до площини Означення. Перпендикуляром, опущеним з даної точки на дану площину, називається відрізок, що сполучає дану точку з точкою площини і лежить на прямій, перпендикулярній до площини. Кінець цього відрізка, який лежить у площині, називається основою перпендикуляра (Рис. 24). Означення. Відстанню від даної точки до площини називається довжина перпендикуляра, опущеного з цієї точки на площину (Рис. 24). Означення. Похилою, проведеною з даної точки до даної площини, називається будь-який відрізок, який сполучає дану точку з точкою площини і не є перпендикуляром. Кінець відрізка, що лежить у площині, називається основою похилої (Рис. 25). Означення. Відстанню від прямої до паралельної площини називається відстань від будь-якої її точки до цієї площини (Рис. 26). Теорема. (про три перпендикуляри). Пряма, проведена на площині через основу похилої перпендикулярно до її проекції, перпендикулярна і до самої похилої. І навпаки, якщо пряма на площині перпендикулярна до похилої, то вона перпендикулярна до проекції похилої (Рис. 27). Перпендикулярність площин
 Якщо α β, α∩β=b, aα, aβ, , тоді αβРис. 30. Пряма перпендикулярна до прямої перетину перпендикулярних площин  Якщо a α, aβ, тоді αβ
Рис. 29. Площина проходить через пряму перпендикулярну до другої площини 
Рис. 28. Перпендикулярні площини Означення. Дві площини, що перетинаються, називаються перпендикулярними, якщо будь-яка площина, перпендикулярна до прямої перетину цих площин, перетинає їх по перпендикулярних прямих (Рис. 28). Теорема. Якщо площина проходить через пряму, перпендикулярну до другої площини, то ці площини перпендикулярні (Рис. 29). Теорема. Якщо пряма, яка лежить в одній з двох перпендикулярних площин, перпендикулярна до лінії їх перетину, то вона перпендикулярна до другої площини (Рис. 30). Відстань між мимобіжними прямими
 Рис. 32. Відстань між мимобіжними прямими  Рис. 31. Спільний перпендикуляр Означення. Спільним перпендикуляром до двох мимобіжних прямих називається відрізок з кінцями на цих прямих, перпендикулярний до кожної з них (Рис. 31). Теорема. Дві мимобіжні прямі мають спільний перпендикуляр і до того ж тільки один. Він є спільним перпендикуляром до паралельних площин, які проходять через ці прямі (Рис. 31). Означення. Відстанню між мимобіжними прямими називається довжина їх спільного перпендикуляра. Вона дорівнює відстані між паралельними площинами, які проходять через ці прямі (Рис. 32). Кути між прямими і площинами у просторі
 Рис. 37. Ортогональна проекція многокутника  Рис. 36. Кут між площинами  Рис. 35. Кут між прямою та площиною  Рис. 34. Кут між мимобіжними прямими  Рис. 33. Суміжні та вертикальні кути
Означення. Дві прямі, що перетинаються, утворюють суміжні й вертикальні кути (Рис. 33). Теорема. Вертикальні кути рівні, а суміжні доповнюють один одного до 180°. Означення. Кутова міра меншого з кутів під якими перетинаються дві прямі називається кутом між прямими. Кут між перпендикулярними прямими дорівнює 90° за означенням. Кут між паралельними прямими вважаємо таким, що дорівнює нулю. Означення. Кутом між мимобіжними прямими називається кут між прямими, які перетинаються і паралельні даним мимобіжним прямим. Цей кут не залежить від вибору прямих, що перетинаються (Рис. 34). Означення. Кутом між прямою і площиною називається кут між цією прямою і її проекцією на площину (Рис. 35). Кут між паралельними прямою і площиною вважаємо таким, що дорівнює нулю, а кут між перпендикулярними прямою і площиною дорівнює 90°. Оскільки пряма а, її проекція а на площину а і перпендикуляр до площини а в точці її перетину з прямою а лежать в одній площині, то кут між прямою і площиною доповнює до 90° кут між цією прямою і перпендикуляром до площини. Кут між паралельними площинами вважається таким, що дорівнює нулю. Означення. Кутом між двома площинами називається кут між прямими, які утворюються при перетині даних площин третьою, яка проведена перпендикулярно до прямої перетину перших двох площин (Рис. 36). Означення. Ортогональною проекцією фігури на дану площину називається її паралельна проекція, напрям якої перпендикулярний до цієї площини (Рис. 37). Теорема. Площа ортогональної проекції многокутника на площину дорівнює добутку його площі на косинус кута між площиною многокутника і площиною проекції.
|
