Математика онлайн
FIZMA.neT - математика онлайн
Hosting Ukraine Hosting Ukraine Hosting Ukraine Hosting Ukraine Hosting Ukraine Hosting Ukraine Hosting Ukraine Hosting Ukraine Hosting Ukraine Hosting Ukraine
Призначення кнопок панелі онлайн розрахунків
Генерувати - виконується постановка задачі (у довільні поля вносяться випадкові числа. Задача має єдиний розв'язок)
Розрахувати - перевіряється правильність розв'язування довільної задачі (Виводиться повідомлення про неправильні значення)
Перевірити - перевіряється правильність розв'язування згенерованої задачі (Виводиться повідомлення про неправильні значення)
Мінікалькулятор дозволяє виконувати прості розрахунки. Виберіть, при потребі, функцію. Внесіть у перше поле вираз (в тому числі і з дужками)
2*(2+2). Натисніть = і результат з'явиться у другому полі. Кнопка 0 дозволяє округлити результат до чотирьох значущих цифр. Кнопка < дозволяє перенести результат у перше поле.

Прямые и плоскости в пространстве
Аксиомы стереометрии

Если Aα, Aβ , тоді
a, Aa α∩β=a
Рис. 2. К аксиоме С2


Если a∩b=A, тогда
!a, aα, bα

Рис. 3. К аксиоме С3

Aα, Bα
Рис. 1. К аксиоме С1

Определение. Стереометрия — это раздел геометрии, в котором изучаются фигуры в пространстве.

Основными фигурами в пространстве является точка, прямая и плоскость. Введение нового геометрического образа – плоскости, нуждается в расширении системы аксиом, потому мы вводим группу аксиом С, которая выражает основные свойства плоскостей в пространстве.

С1. Какая бы не была плоскость, существуют точки, которые принадлежат этой плоскости, и точки, которые не принадлежат ей (Рис. 1).

С2. Если две разных плоскости имеют общую точку, то они пересекаются по прямой (Рис. 2).

С3. Если две разных прямых имеют общую точку, то через них можно провести плоскость, и к тому же только одну (Рис. 3).

Замечание. В планиметрии мы имели одну плоскость, на которой размещались все рассматриваемые нами фигуры. В стереометрии бесконечно много плоскостей. В связи с этим формулировки некоторых аксиом нуждаются в уточнении.

ІІ2. Прямая, которая принадлежит плоскости, разбивает эту плоскость на две полуплоскости.

IV2. От полупрямой на плоскости, которая содержит ее, в заданную полуплоскость можно отложить угол заданной градусной меры, меньшей 180°, и к тому же только один.

IV3. Какой бы не был треугольник, существует треугольник, который равен ему, в данной плоскости с заданным размещением относительно данной полупрямой на этой плоскости.

V. На плоскости через точку, которая не лежит на данной прямой, можно провести не больше одной прямой, параллельной данной.

Последствия аксиом стереометрии


A, B, C - не лежат на одной прямой,
тогда !α, Aα, Bα, Cα

Рис. 6. Плоскость, проведенная
через три точки


Если Aa, Ba, Aα, Bα
,тоді aα
Рис. 5. Прямая, которая проходит
через две точки плоскости


Если Aa, тогда
, aα, Aα

Рис. 4. Плоскость, проведенная
через прямую и точку

Теорема. Через прямую и точку, которая не лежит на ней, можно провести плоскость и к тому же только одну (Рис. 4).

Теорема. Если две точки прямой принадлежат плоскости, то вся прямая принадлежит этой плоскости (Рис. 5).

Из теоремы вытекает, что плоскость и прямая, которая не лежит на ней, или непересекаются, или пересекаются в одной точке.

Теорема. Через три точки, которые не лежат на одной прямой, можно провести плоскость, и к тому же только одну (Рис. 6).

Параллельность в пространстве
Параллельность прямых в пространстве

Если a||b, b||c, тогда a||c
Рис. 10. Три параллельные прямые

Если Ba, тогда
!b, Bb, b||a

Рис. 9. Додекаэдр

Рис. 8. Скрещивающиеся прямые

Рис. 7. Параллельные прямые

Определение. Две прямые в пространстве, называются параллельными, если они лежат в одной плоскости и не пересекаются (Рис. 7).

Определение. Прямые, которые не пересекаются и не лежат в одной плоскости, называются скрещивающимися (Рис. 8).

Теорема. Через точку вне данной прямой можно провести прямую, параллельную этой прямой, и к тому же только одну (Рис. 9).

Теорема. Две прямые, параллельные третьей прямой, параллельные между собой (Рис. 10).

Параллельность прямой и плоскости в пространстве

Если Bα, тогда !β, Bβ, β||α
Рис. 15. Параллельная плоскость
проведена через точку
вне данной плоскости

Если aα, bα, a∩b=A,
β||a, β||b
, тогда β||α

Рис. 14. Плоскость параллельная
к двум прямым второй плоскости

Рис. 13. Параллельные
плоскости

Если bα, b||a, aα ,
тогда b||α

Рис. 12. Прямая,
параллельная
к прямой на плоскости

Рис. 11. Прямая,
параллельная
к плоскости

 

 

 

 

 

 

 

 

 


Если α||β, a||b, a∩α=A1,
a∩β=A2, b∩α=B1, b∩β=B2
,
тогда A1A2 = B1B2

Рис. 17. Параллельные плоскости
пересекают параллельные прямые

Если α||β, γα, γβ,
γ∩α=a, γ∩β=b
, тогда a||b

Рис. 16. Плоскость, которая
пересекает параллельные
плоскости

Определение. Прямая и плоскость называются параллельными, если они не пересекаются (Рис. 11).

Теорема. Если прямая, которая не принадлежит плоскости, параллельна какой-либо прямой в этой плоскости, то она параллельна и самой плоскости (Рис. 12).

Определение. Две плоскости называются параллельными, если они не пересекаются (Рис. 13).

Теорема. Две плоскости параллельные, если одна из них параллельная к двум прямым, которые лежат во второй плоскости и пересекаются (Рис. 14).

Теорема. Через точку вне данной плоскости можно провести плоскость, параллельную данной, и к тому же только одну (Рис. 15).

Теорема. Если две параллельные плоскости пересекаются третьей, то прямые их пересечения параллельны (Рис. 16).

Теорема. Отрезки параллельных прямых, которые содержатся между параллельными плоскостями, равны (Рис. 17).

Параллельное проектирование

Рис. 18. Параллельное проектирование

Для изображения пространственных фигур на плоскости, как правило, пользуются параллельным проектированием. Через каждую точку фигуры в пространстве проводят параллельные прямые, которые не являются параллельными некоторой плоскости. Эти прямые пересекут избранную плоскость, образовав некоторую фигуру на ней (Рис. 18). Такой способ изображения пространственной фигуры на плоскости называется параллельным проектированием.

Свойства параллельного проектирования:

– Прямолинейные отрезки фигуры изображаются на плоскости рисунка прямолинейными отрезками.

– Параллельные отрезки фигуры изображаются на плоскости рисунка параллельными отрезками, или отрезками, которые лежат на одной прямой.

– Отношение отрезков одной прямой или параллельных прямых сохраняется при параллельном проектировании.

Перпендикулярность в пространстве
Перпендикулярность прямых в пространстве

Если b1∩b2=B, b1||a1, b2||a2, a1a1, тогда b1b2
Рис. 20. Прямые, которые параллельны
к перпендикулярным прямым

Рис. 19. Перпендикулярные прямые

Определение. Две прямые называются перпендикулярными, если они пересекаются под прямым углом (Рис. 19).

Теорема. Прямые, которые пересекаются и соответственно параллельны перпендикулярным прямым, перпендикулярны между собой. (Рис. 20).

Перпендикулярность прямой и плоскости

Определение. Прямая, которая пересекает плоскость, называется перпендикулярной к этой плоскости, если она перпендикулярна к любой прямой, которая лежит в плоскости, и проходит через точку пересечения данной прямой с плоскостью (Рис. 21).



1. Если a||b, aα, тогда bα
2. Если aα, bα, тогда a||b
Рис. 23. Две прямые
перпендикулярные к плоскости


Если b∩α=A, ba1, ba2,
Aa1, Aa2,
, тогда bα

Рис. 22. Прямая, перпендикулярная
к прямым на перпендикулярной плоскости


Рис. 21. Прямая, перпендикулярна
к плоскости

Теорема. Если прямая, которая пересекает плоскость, перпендикулярна к двум прямым этой плоскости, которые проходят через точку пересечения, то она перпендикулярна к плоскости (Рис. 22).

Теорема. Если плоскость перпендикулярна к одной из двух параллельных прямых, то она перпендикулярна и ко второй прямой (Рис. 23).

Теорема. Две прямые, перпендикулярные к одной и той же плоскости, параллельны (Рис. 23).

Перпендикуляр и наклонная


1. Если aα, Cα, aBC,,
тогда aAC

2. Если aα, Cα, aAC,,
тогда aBC

Рис. 27. Теорема.
о трех перпендикулярах


Рис. 26. Расстояние
от прямой к плоскости


Рис. 25. Наклонная


Рис. 24. Перпендикуляр к плоскости.
Расстояние от точки к плоскости

Определение. Перпендикуляром, опущенным из данной точки на данную плоскость, называется отрезок, который соединяет данную точку с точкой плоскости и лежит на прямой, перпендикулярной к плоскости. Конец этого отрезка, который лежит в плоскости, называется основой перпендикуляра (Рис. 24).

Определение. Расстоянием от данной точки к плоскости называется длина перпендикуляра, опущенного из этой точки на плоскость (Рис. 24).

Определение. Наклонной, проведенной с данной точки к данной плоскости, называется любой отрезок, который соединяет данную точку с точкой плоскости и не является перпендикуляром. Конец отрезка, который лежит в плоскости, называется основой наклонной (Рис. 25).

Определение. Расстоянием от прямой к параллельной плоскости называется расстояние от любой ее точки к этой плоскости (Рис. 26).

Теорема. (о трех перпендикулярах). Прямая, проведенная на плоскости через основу наклонной перпендикулярно к ее проекции, перпендикулярна и к самой наклонной. И наоборот, если прямая на плоскости перпендикулярна к наклонной, то она перпендикулярна к проекции наклонной (Рис. 27).

Перпендикулярность плоскостей


Если αβ, α∩β=b, aα, aβ, , тогда αβ
Рис. 30. Прямая, перпендикулярная
к прямой пересечения
перпендикулярных плоскостей


Если aα, aβ, тогда αβ
Рис. 29. Плоскость проходит
через прямую, перпендикулярную
ко второй плоскости


Рис. 28. Перпендикулярные плоскости

Определение. Две плоскости, которые пересекаются, называются перпендикулярными, если любая плоскость, перпендикулярная к прямой пересечения этих плоскостей, пересекает их по перпендикулярным прямым (Рис. 28).

Теорема. Если плоскость проходит через прямую, перпендикулярную ко второй плоскости, то эти плоскости перпендикулярны (Рис. 29).

Теорема. Если прямая, которая лежит в одной из двух перпендикулярных плоскостей, перпендикулярна к линии их пересечения, то она перпендикулярна ко второй плоскости (Рис. 30).

Расстояние между скрещивающимися прямыми


Рис. 32. Расстояние между
скрещивающимися прямыми


Рис. 31. Общий перпендикуляр

Определение. Общим перпендикуляром к двум скрещивающимся прямым называется отрезок с концами на этих прямых, перпендикулярный к каждой из них (Рис. 31).

Теорема. Две скрещивающиеся прямые имеют общий перпендикуляр, и к тому же только один. Он является общим перпендикуляром к параллельным плоскостям, которые проходят через эти прямые (Рис. 31).

Определение. Расстоянием между скрещивающимися прямыми называется длина их общего перпендикуляра. Она равняется расстоянию между параллельными плоскостями, которые проходят через эти прямые (Рис. 32).

Углы между прямыми и плоскостями в пространстве


Рис. 37. Ортогональная
проекция многоугольника


Рис. 36. Угол между
плоскостями


Рис. 35. Угол между
прямой и плоскостью


Рис. 34. Угол между
скрещивающимися прямыми


Рис. 33. Смежные
и вертикальные углы

 

 

 

 

 

 

Определение. Две прямые, которые пересекаются, образуют смежные и вертикальные углы (Рис. 33).

Теорема. Вертикальные углы равны, а смежные дополняют друг друга к 180°.

Определение. Угловая мера более малого из углов, под которыми пересекаются две прямые, называется углом между прямыми.

Угол между перпендикулярными прямыми равняется 90° за определением. Угол между параллельными прямыми считаем таким, который равняется нулю.

Определение. Углом между скрещивающимися прямыми, называется угол между прямыми, которые пересекаются и параллельные данным скрещивающимся прямым. Этот угол не зависит от выбора прямых, которые пересекаются (Рис. 34).

Определение. Углом между прямой и плоскостью называется угол между этой прямой и ее проекцией на плоскость (Рис. 35).

Угол между параллельными прямой и плоскостью считается таким, что равняется нулю, а угол между перпендикулярными прямой и плоскостью равняется 90°. Поскольку прямая а, ее проекция а на плоскость и перпендикуляр к плоскости а в точке ее пересечения с прямой а лежат в одной плоскости, то угол между прямой и плоскостью дополняет к 90° угол между этой прямой и перпендикуляром к плоскости. Угол между параллельными плоскостями считается таким, который равняется нулю.

Определение. Углом между двумя плоскостями называется угол между прямыми, которые образуются при пересечении данных плоскостей третьей, которая проведена перпендикулярно к прямой пересечения первых двух плоскостей (Рис. 36).

Определение. Ортогональной проекцией фигуры на данную плоскость называется ее параллельная проекция, направление которой перпендикулярно к этой плоскости (Рис. 37).

Теорема. Площадь ортогональной проекции многоугольника на плоскость равняется произведению его площади на косинус угла между плоскостью многоугольника и плоскостью проекции.


Hosting Ukraine