Математика онлайн
FIZMA.neT - математика онлайн
Hosting Ukraine Hosting Ukraine Hosting Ukraine Hosting Ukraine Hosting Ukraine Hosting Ukraine Hosting Ukraine Hosting Ukraine Hosting Ukraine Hosting Ukraine
Призначення кнопок панелі онлайн розрахунків
Генерувати - виконується постановка задачі (у довільні поля вносяться випадкові числа. Задача має єдиний розв'язок)
Розрахувати - перевіряється правильність розв'язування довільної задачі (Виводиться повідомлення про неправильні значення)
Перевірити - перевіряється правильність розв'язування згенерованої задачі (Виводиться повідомлення про неправильні значення)
Мінікалькулятор дозволяє виконувати прості розрахунки. Виберіть, при потребі, функцію. Внесіть у перше поле вираз (в тому числі і з дужками)
2*(2+2). Натисніть = і результат з'явиться у другому полі. Кнопка 0 дозволяє округлити результат до чотирьох значущих цифр. Кнопка < дозволяє перенести результат у перше поле.

Геометрические тела в пространстве

Многогранные углы

Рис. 3. Многогранный угол

Рис. 2. Трехгранный угол

Рис. 1. Двугранный угол

Определение. Двугранным углом называется фигура, образованная двумя полуплоскостями с общей прямой, что их ограничивает (Рис. 1).

Полуплоскости называются гранями, а прямая, что их ограничивает, - ребром двугранного угла.

Плоскость, перпендикулярная к ребру двугранного угла, пересекает его грани по двум полупрямым.

Определение. Угол, образованный полупрямыми, которые образуются при пересечении граней двугранного угла перпендикулярной к ним плоскостью, называется линейным углом двугранного угла.

За меру двугранного угла принимают меру соответствующего ему линейного угла.

Все линейные углы двугранного угла совмещаются параллельным переносом, а следовательно, они равны. Поэтому мера двугранного угла не зависит от выбора линейного угла.

Определение. Трехгранным углом (abc) называется фигура, которая состоит из трех плоских углов (ab), (bc) и (ас) (Рис. 2).

Эти углы называются гранями трехгранного угла, а их стороны - ребрами. Общая вершина плоских углов называется вершиной трехгранного угла. Двугранные углы, образованные гранями трехгранного угла, называются двугранными углами трехгранного угла.

По аналогии дают определение понятия многогранного угла как фигуры, составленной из плоских углов. Для многогранного угла определения понятий граней, ребер и двугранных углов такие же, как и для трехгранного угла. (Рис. 3)

Многогранники

Рис. 5. Вогнутый многогранник

Рис. 4. Выпуклый многогранник

Определение. Многогранником называется тело, поверхность которого состоит из конечного количества плоских многоугольников (Рис. 4, 5).

Определение. Многогранник называется выпуклым, если он размещен по одну сторону от плоскости каждого плоского многоугольника на его поверхности (Рис. 4).

Определение. Общая часть такой плоскости и поверхности выпуклого многогранника называется гранью.

Грани выпуклого многогранника есть опуклыми многоугольниками.

Определение. Стороны граней многогранника называются ребрами, а вершины - вершинами многогранника
Правильные многогранники

Рис. 10. Икосаэдр

Рис. 9. Додекаэдр

Рис. 8. Октаэдр

Рис. 7. Куб

Рис. 6. Правильный
тетраэдр

Определение. Выпуклый многогранник называется правильным, если его грани являются правильными многоугольниками с одним и тем же количеством сторон, а в каждой вершине многогранника сходится одно и тоже количество ребер.

Существует пять типов правильных выпуклых многогранников
(Рис. 6-10):

Призма

Рис. 11. Призма

Определение. Призмой называется многогранник, который состоит из двух ровных многоугольников, которые совмещаются параллельным перенесением, и всех отрезков, которые соединяют соответствующие точки этих многоугольников. (Рис. 11).

Определение. Многоугольники называются основами призмы, а отрезки, которые соединяют соответствующие вершины, - боковыми ребрами призмы.

Основы призмы лежат в параллельных плоскостях. Боковые ребра призмы параллельны и равны. Боковые грани призмы являются параллелограммами.


Рис. 12. Диагональ призмы
и диагональное
сечение призмы

Определение. Высотой призмы называется расстояние между плоскостями ее оснований.

Определение. Отрезок, который соединяет две вершины, которые не принадлежат одной грани, называется диагональю призмы.

Определение. Диагональным сечением призмы называется сечение плоскостью, которая проходит через два боковых ребра, которые не принадлежат одной грани. (Рис. 12).

Определение. Боковой поверхностью призмы (точнее площадью боковой поверхности) называется сумма площадей боковых граней. Полная поверхность призмы равняется сумме боковой поверхности и площадей оснований.

Пряма призма

Рис. 14. Правильная призма

Рис. 13. Прямая призма

Определение. Призма называется прямой, если ее боковые ребра перпендикулярны к основаниям.

В другом случае призма называется наклонной. (Рис. 13).

Правильная призма
Определение. Прямая призма называется правильной, если ее основами являются правильные многоугольники. (Рис. 14).
Параллелепипед

Рис. 14. Параллелепипеды

Определение. Если основой призмы является параллелограмм, то она называется параллелепипедом (Рис. 14).

В параллелепипеда все грани - параллелограммы.

Определение. Грани параллелепипеда, которые не имеют общих вершин, называются противоположными.

Теорема. В параллелепипеде противоположные грани параллельны и равны.

Теорема. Диагонали параллелепипеда пересекаются в одной точке и точкой пересечения делятся пополам (Рис. 14).

Точка пересечения диагоналей параллелепипеда есть его центром симметрии.

Прямоугольный параллелепипед

Определение. Прямой параллелепипед, в которого основой является прямоугольник, называется прямоугольным параллелепипедом.

В прямоугольном параллелепипеде все грани - прямоугольники.

Определение. Длины непараллельных ребер прямоугольного параллелепипеда называются его линейными размерами, или измерениями.

В прямоугольном параллелепипеде три линейных размера.

Теорема. В прямоугольном параллелепипеде квадрат любой диагонали равняется сумме квадратов трех его линейных размеров.

Куб
Определение. Прямоугольный параллелепипед, в которого все ребра уровни, называется кубом.
Пирамида

Рис. 16. Пересечение пирамиды
плоскостью, параллельной
основе

Рис. 15. Пирамида

Определение. Пирамидой называется многогранник, который состоит из плоского многоугольника, - основы пирамиды, точки, которая не лежит в плоскости основы, - вершины пирамиды и всех отрезков, которые соединяют вершину с точками основы. (Рис. 15).

Определение. Отрезки, которые соединяют вершину пирамиды с вершинами основы, называются боковыми ребрами.

Поверхность пирамиды состоит из основы и боковых граней. Каждая боковая грань – треугольник. Одна из его вершин – вершина пирамиды, а противоположная сторона - сторона основы пирамиды.

Определение. Высотой пирамиды называется перпендикуляр, опущенный из вершины пирамиды на плоскость основы.

Определение. Пирамида называется n-угольной, если ее основой является n-угольник.

Определение. Треугольная пирамида называется тетраэдром


Рис. 17. Правильная n-угольная пирамида,
высота пирамиды и ее апофема

Теорема. Плоскость, какая параллельная основе пирамиды и пересекает ее, отрезает подобную пирамиду. (Рис. 16).

Правильная пирамида

Определение. Пирамида называется правильной, если ее основой является правильный многоугольный, а основа высоты совпадает с центром этого многоугольного (Рис. 17).

Определение. Осью правильной пирамиды называется прямая, которая содержит ее высоту (Рис. 17).

В правильной пирамиде боковые ребра равны, следовательно, боковые грани являются равными равнобедренными треугольниками.

Определение. Высота боковой грани правильной пирамиды, проведенная из ее вершины, называется апофемой (Рис. 17).

Определение. Боковой поверхностью пирамиды называется сумма площадей ее боковых граней.

Усеченная пирамида

Рис. 18. Усеченная пирамида

Определение. Часть пирамиды, которая образуется путем отрезания некоторой части плоскостью, которая параллельна плоскости основы называется усеченной пирамидой (Рис. 8.18).

Определение. Грани усеченной пирамиды, которые лежат в параллельных плоскостях называются основамы пирамиды; остальные грани называются боковыми гранями.

Основы усеченной пирамиды - подобные (более того - гомотетичные) многоугольные, боковые грани - трапеции.

Определение. Усеченная пирамида, которую достают из правильной пирамиды, также называется правильною.

Боковые грани правильной усеченной пирамиды - ровные равнобокие трапеции

Определение. Высоты боковых граней правильной усеченной пирамиды называются апофемами.

Тела вращения
Цилиндр

Рис. 19. Цилиндр

Определение. Цилиндром называется тело, которое состоит из двух кругов, которые совмещаются параллельным переносом, и всех отрезков, которые соединяют соответствующие точки этих кругов. (Рис. 19).

Определение. Круги называются основаниями цилиндра, а отрезки, которые соединяют соответствующие точки кругов, - образующими цилиндра.

Основы цилиндра уровни и лежат в параллельных плоскостях. Образующие цилиндра параллельны и ровны. Поверхность цилиндра состоит из основ и боковой поверхности. Боковая поверхность состоит из образующих.

Прямой цилиндр

Определение. Цилиндр называется прямым, если его образующие перпендикулярны к плоскостям основ.

Далее будем рассматривать только прямой цилиндр, называя его просто цилиндром. Прямой цилиндр можно рассматривать как тело, образованное вращением прямоугольника вокруг его стороны как оси (Рис. 20).



Рис. 23. Пересечение
цилиндра плоскостью
перпендикулярной к оси


Рис. 22. Плоскость
касательная к цилиндру

Рис. 21. Осевое
сечение цилиндра

Рис. 20. Цилиндр
как тело вращения

Определение. Радиусом цилиндра называется радиус его основы.

Определение. Высотой цилиндра называется расстояние между плоскостями основ.

Определение. Осью цилиндра называется прямая, которая проходит через центры основ. Она параллельна образующим.

Определение. Сечение цилиндра плоскостью, которая проходит через ось цилиндра, называется осевым сечением. (Рис. 21).

Определение. Плоскость, которая проходит через образующую прямого цилиндра перпендикулярная к осевому сечению, проведенному через эту образующую, называется плоскостью, касательной к цилиндру (Рис. 22).


Рис. 25. Призма
описана вокруг цилиндра

Рис. 24. Призма
вписана в цилиндр

Теорема. Плоскость, перпендикулярная к оси цилиндра, пересекает его боковую поверхность по окружности, которая равняется окружности основы (Рис. 23).

Вписанная и описанная призмы

Определение. Призмой, вписанной в цилиндр, называется призма, основы которой - равные многоугольники, вписанные в основания цилиндра (Рис. 24).

Ее боковые ребра являются образующими цилиндра.

Определение. Призма называется описанной вокруг цилиндра, если ее основы - равные многоугольники, описанные вокруг оснований цилиндра (Рис. 25).

Плоскости ее граней касаются к боковой поверхности цилиндра.

Конус


Рис. 28. Плоскость
касательная к конусу

Рис. 27. Осевое
сечение конуса

Рис. 26. Конус

Определение. Конусом (точнее, круговым конусом) называется тело, которое состоит из круга, - основания конуса, точки, которая не лежит в плоскости этого круга, - вершины конуса, и всех отрезков, которые соединяют вершину конуса с точками основы (Рис. 26).

Определение. Отрезки, которые соединяют вершину конуса с точками круга основы, называются образующими конуса.

Поверхность конуса состоит из основы и боковой поверхности.

Определение. Сечение конуса плоскостью, которая проходит через его ось, называется осевым сечением (Рис. 27).

Определение. Плоскость, которая проходит через образующую конуса и перпендикулярная к осевому сечению, проведенному через эту образующую, называется плоскостью, касательной к конусу (Рис. 28).

Прямой конус

Рис. 30. Сечение конуса
плоскостью, которая
перпендикулярна оси

Рис. 29. Конус, как
тело вращения

Определение. Конус называется прямым, если прямая, которая соединяет вершину конуса с центром основы, перпендикулярна к плоскости основы.

Далее будем рассматривать только прямой конус, называя его просто конусом. Прямой круговой конус можно рассматривать как тело, образованное вращением прямоугольного треугольника вокруг его катета как оси. (Рис. 29).

Определение. Высотой конуса называется перпендикуляр, опущенный из его вершины на плоскость основания.

В прямом конусе основа высоты совпадает с центром основы.

Определение. Осью прямого конуса называется прямая, которая содержит его высоту.

Теорема. Плоскость, перпендикулярная к оси прямого конуса, пересекает конус по кругу, а боковую поверхность - по окружности, центр которых лежит на оси конуса. (Рис. 30).


Рис. 31. Усеченный конус

Плоскость, перпендикулярная к оси конуса, отрезает от него меньший прямой конус.

Усеченный конус
Определение. Часть конуса, которая осталась после отрезания от конуса части плоскостью, которая перпендикулярная к его оси называется усеченным конусом. (Рис. 31).
Вписанная и описанная пирамиды

Рис. 33. Пирамида
описанная вокруг конуса

Рис. 32. Пирамида
вписанная в конус

Определение. Пирамидой, вписанной в конус, называется пирамида, основой которой является многоугольник, вписанный в окружность основы конуса, а вершиной - вершина конуса (Рис. 32).

Боковые ребра пирамиды, вписанной в конус, являются образующими конуса.

Определение. Пирамида называется описанной вокруг конуса, если ее основой является многоугольник, описанный вокруг основы конуса, а вершина совпадает с вершиной конуса (Рис. 33).

Плоскости боковых граней описанной пирамиды является плоскостями, касательными к конусу.

Шар



Рис. 35. Перерез шара плоскостью

Рис. 34. Шар и его элементы

Определение. Шаром называется тело, которое состоит из всех точек пространства, которые находятся от данной точки на расстоянии, не больше данной (Рис. 34).

Определение. Отрезок, который соединяет центр шара с любой точкой шаровой поверхности, также называется радиусом.

Определение. Отрезок, который соединяет две точки шаровой поверхности и проходит через центр шара, называется диаметром.

Определение. Концы любого диаметра называются диаметрально противоположными точками шара.

Шар, как цилиндр и конус, является телом вращения. Она может быть образована вращением полкруга вокруг его диаметра как оси.

Теорема. Любое сечение шара плоскостью является кругом. Центр этого круга является основой перпендикуляра, опущенного из центра шара на секущую плоскость. (Рис. 35).


Рис. 37. Плоскость,
касательная к шару

Рис. 36. Диаметральная плоскость

Радиус окружности r, которая образуется при сечении шара плоскостью, можно вычислить по формуле: , где: R – радиус шара, h – расстояние от центра шара к плоскости.

Отсюда видно, что плоскости, равноудаленные от центра, пересекают шар по равным кругам. Круг в сечении плоскостью будет тем больше, чем ближе плоскость лежит к центру шара.

Определение. Плоскость, которая проходит через центр шара, называется диаметральной плоскостью (Рис. 36).

Определение. Сечение шара диаметральной плоскостью называется большым кругом, а перерез сферы - большой окружностью.

Теорема. Любая диаметральная плоскость шара является ее плоскостью симметрии. Центр шара является ее центром симметрии.

Теорема. Касательная плоскость имеет с шаром лишь одну общую точку - точку касания (Рис. 37).

Определение. Прямая, которая проходит через точку шаровой поверхности и перпендикулярная к радиусу, проведенному в эту точку, называется касательной.

Теорема. Через любую точку шаровой поверхности проходит множество касательных, и все они лежат в плоскости, касательной к шару.

Части шара

Рис. 39. Шаровый сектор

Рис. 38. Шаровый сегмент
и шаровый слой

Определение. Шаровым сегментом называется часть шара, которую отрезает от нее плоскость (Рис. 38).

Определение. Шаровым слоем называется часть шара, которая содержится между двумя параллельными плоскостями, которые пересекают шар. (рис 38).

Определение. Шаровым сектором называется тело, которое образуется из шарового сегмента и конуса так: если шаровый сегмент меньше полушария, то шаровый сегмент дополняют конусом, вершина которого лежит в центре шара, а основой является основа сегмента: если же сегмент больше от полушария, то отмеченный конус из него изымается (Рис. 39).

Сфера

Определение. Сферой называется поверхность, которая состоит из всех точек пространства, которые находятся от данной точки на равном расстоянии.


Hosting Ukraine