Похідна функції

Це динамічний малюнок GeoGebra.
Червоні елементи можна змінювати

Поняття похідної.
Геометричний зміст похідної. Диференціал

Нехай функція y=f(x) задана на деякому інтервалі (a; b). Візьмемо довільну точку х0  (a; b) і надамо їй довільного приросту аргументу Δх (число Δх може бути як додатнім так і від’ємним), але такого, щоб точки х0 і х0+Δх належали інтервалу (a; b). Тоді значення функції f(x) в точці х0+Δх буде рівним f(х0+Δх).

Означення. Вираз Δy=f(х0+Δх)–f(х0) називається приростом функції f(x) в точці х0.

Означення. Якщо існує границя відношення приросту функції Δy до приросту аргументу Δx, за умови, що Δx прямує до нуля, то ця границя називається похідною функції f(x) в точці х0

\[\displaystyle f'(x_0) = \lim_{\Delta x \to 0}\frac{f(x_0+\Delta x) - f(x_0)}{\Delta x}.\]

Похідна позначається \(\displaystyle y', f'(x_0), \frac{dy}{dx}, \frac{df(x)}{dx}\).

Похідна функції в даній точці дорівнює тангенсу кута нахилу дотичної до функції в цій точці f '(x₀)=tg α=k.

Рівняння дотичної до функції f(х) в точці х0 записується так: y=f(x₀)+f '(x₀)(x-x₀). Це рівняння можна представити у вигляді y=kx+b .

Коли задано функцію шляху S=S(t) то перша похідна від неї за часом дасть функцію швидкості S_t'(t) = v(t).

Похідна від функції швидкості по часу дасть функцію прискорення  v_t'(t) = a(t).

Друга похідна від шляху по часу рівна прискоренню тіла в даний момент часу S_t''(t) = a(t).

Похідну можна використати і для інших фізичних величин, які характеризують швидкість проходження певних процесів. Так сила струму характеризує швидкість проходження заряду I=Δq/Δt. Тому можна сказати, що функція сили струму буде похідною по часу від функції заряду I=q_t'.

Таблиця похідних

Похідні функцій можна знаходити користуючись означенням. Але такий спосіб є не зручним, і тому на практиці похідні знаходять користуючись таблицею похідних (див. таблицю похідних) та правилами диференціювання (їх є чотири).

Якшо u, v - диференційовні функції, С - стала, то правила диференціювання записуються так (див. правила диференціювання):

Нехай задано функції y=f(t) і t=g(x). Тепер підставимо другу функцію у першу.

Означення. Функція y=h(x)=f(g(x)) називається складеною функцією (суперпозицією або композицією) функцій відносно функцій f і g.

Наприклад, y=Sin²x – складена функція, бо вона є суперпозицією функцій y=u²; та u=Sin x.

Формула для знаходження похідної складеної функції записується так: (f(g(x)))'=f '(g(x))·g'(x).