Поняття функції. Перетворення графіків функцій
Поняття функції
Означення. Нехай маємо деякі множини Х та Y елементів довільної природи. Якщо кожному елементу х 
Х за певним правилом поставлено у відповідність один елемент з множини Y (y Y), то говорять, що на множині Х визначено функцію. Записують у=f(x) (рис.1).
Означення. Множина Х всіх елементів, які можуть бути аргументами функції називається областю визначення функції.
Означення. Множину Y всіх значень функції, яких вона набуває, називають областю значень функції.
Означення. х називають аргументом або незалежною змінною; у називають результатом (залежною змінною) або функцією.
Способи задання функції:
- аналітичний (формулою);
- графічний;
- табличний;
- описовий (залежність описана словами).
Основні елементарні функції:
Рис. 1. Графічне представлення
поняття функції
Різні види функцій
Означення. Функція f(x) називається парною якщо f(-x) = f(x) (рис.2).
Означення. Функція f(x) називається непарною якщо f(-x) = - f(x) (рис.3).
Геометрично графік парної функції симетричний відносно осі Оy. Графік непарної функції симетричний відносно початку координат
Означення. Функція f(x) на проміжку (a;b) називається зростаючою, якщо для x2 > x1 виконується нерівність f(x2)>f(x1) (рис.4).
Означення. Функція f(x) на проміжку (a;b) називається спадаючою, якщо для x2 > x1 виконується нерівність f(x2) <f(x1) (рис.5).
Означення. Точка xo називається точкою мінімуму функції f(x) на проміжку (a;b), якщо f(xo)<f(x) (рис.6).
Означення. Точка xo називається точкою максимуму функції g(x) на проміжку (a;b), якщо f(xo)>f(x) (рис.7).
Означення. Функцію, що набуває кожного свого значення в єдиній точці області визначення називають оборотною.
Означення. Функцію, яка в кожній точці х області значень оборотної функції f набуває такого значення y, що f(y)=x, називають оберненою до f.
Геометрично графік функції g, оберненої до функції f симетричний до графіка f відносно прямої y=x (бісектриси першої та третьої чвертей) (рис.8).
Рис. 2. Графік парної функції
Рис. 3. Графік непарної функції
Рис. 4. Графік зростаючої функції
Рис. 5. Графік спадаючої функції
Рис. 6. Точка мінімуму функції
Рис. 7. Точка максимуму функції
Рис. 8. Графіки обернених функцій
Схема дослідження функції
1. Область визначення та значень.
2. Парність, непарність, періодичність.
3. Точки перетину з осями координат f(x)=0, f(0)=y.
4. Проміжки знакосталості f(x)>0, f(x)<0.
5. Проміжки зростання та спадання.
6. Точки максимуму та мінімуму і значення функції в цих точках.
Перетворення графіків функцій
За допомогою операцій перетворення графік деякої функції y=f(x) можна перетворити у графік значно складнішої функції без жодних обчислень. До операцій перетворення відносяться:
- паралельний перенос осей координат;
- зміна масштабів по осям координат;
- зміна орієнтації осей координат;
- перетворення абсолютних величин на графіку.
y =a f(x) - Розтягнення графіка вздовж осі ординат у а разів;
y = f(bx) - Стиснення графіка вздовж осі оабсцис у b разів;
y = f(x+с) - Паралельне перенесення графіка вздовж осі абсцис на | с | одиниць (вліво, якщо с> 0, і вправо, якщо с< 0);
y = f(x)+d - Паралельне перенесення графіка вздовж осі ординат на | d | одиниць (вгору, якщо d> 0, і вниз, якщо d < 0);
y = f( - x) - Симетричне відображення графіка відносно осі абсцис
y = - f(x) - Симетричне відображення графіка відносно осі ординат
y = | f(x) | - Симетричне відображення графіка відносно осі абсцис для всіх точок, де f(x) < 0.
y = f( | x | ) - Симетричне відображення графіка відносно осі ординат для всіх точок, де x < 0.