Теорія ймовірностей та математична статистика
Теорія ймовірностей
Означення. Вірогідною називається подія, яка за заданих умов обов'язково станеться в даному досліді.
Наприклад, при киданні монети приймемо за подію падіння монети на поверхню. Тоді ця подія буде вірогідною.
Означення. Неможливою називається подія, яка за даних умов не може ніколи відбутися.
Наприклад, трьома пострілами не можна вразити п'ять мішеней.
Означення. Випадковою називається подія, яка за даних умов може відбутися, а може й не відбутися.
Наприклад, випадання герба чи цифри при однократному киданні монети; стрільба, коли дев'ятьма патронами треба вразити три мішені.
Означення. Подія називається детермінованою (передбачуваною) якщо можна наперед передбачити результат досліду чи дослідження.
Означення. Дві випадкові події A і B називаються несумісними, якщо поява однієї з них виключає появу іншої в даному досліді. Інакше – сумісними.
Наприклад, якщо подія А полягає у приході на лекцію, а В – у відсутності на лекції, то ці дві події несумісні. Якщо ви прийшли на лекцію, то подія В не може відбутися. Якщо ви граєте в монету, то випадання герба виключає випадання цифри.
Означення. Події називаються рівноможливими, якщо за даних умов однакова ймовірність появи подій А і В.
Наприклад, при однократному киданні монети рівноможливі події появи герба і числа.
Означення. Подія -А називається протилежною події А, якщо подія -А, полягає в тому, що подія А не відбулася.
Наприклад, при одному пострілі єдино можливими є дві події: А – попадання, -А – промах.
Елементи комбінаторики
Означення. Факторіалом числа n називається добуток послідовних натуральних чисел від 1 до n. n! = 1•2•3•...•n.
Означення. Перестановками з n елементів називаються такі сполуки з n елементів, що відрізняються одна від одної лише порядком елементів.
Число перестановок з n елементів позначають Рn.
З елементів a1, a2, a3 можна скласти такі перестановки: a1a2a3; a1a3a2; a2a1a3; a2a3a1; a3a1a2; a3a2a1.
Теорема. Число перестановок із n елементів обчислюється за формулою: Pn = n!
Означення. Розміщеннями із n елементів по k називаються сполуки, що мають по k елементів, взятих із заданих n елементів, і відрізняються одна від одної хоча б одним елементом або їх порядком.
Число розміщень позначається Akn .
Із трьох елементів: а1, а2, а3 можна скласти три сполуки по одному предмету: а1; а2, а3. Сполук по два буде шість: a1a2 ; a1a3; a2a3; a2a1; a3a1; a3a2. Сполук по три буде шість: а1a2a3; a1a3a2; a3a1a2; a3a2a1; a2a1a3; a2a3a1.
Теорема. Число розміщень з n елементів по k обчислюється \(\displaystyle A_n^k = \frac{n!}{(n-k)!}\).
Означення. Комбінаціями із n елементів по k називаються сполуки, що мають по k елементів, взятих із заданих n елементів, і відрізняються одна від одної хоча б одним елементом.
Число комбінацій позначається Ckn .
З елементів a1, a2, a3 можна скласти три комбінації по два: a1a2 ; a1a3; a2a3.
Теорема. Число комбінацій з n елементів по k обчислюється \(\displaystyle A_n^k = \frac{n!}{(n-k)!*k!}\).
Ймовірність подій
Класична ймовірність
Означення. У випадку коли ймовірність оцінюють без проведення дослідів, вона називається класичною і позначається Р(А) або p(А). \[P(A) = \frac{m}{n},\]
де: m – кількість подій, які нас задовольняють;
n – загальна кількість можливих подій.
Статистична ймовірність
Означення. У випадку коли ймовірність випадкової події А визначають на основі дослідів – статистичною і позначається Р*(А) або p*(А). \[P^*(A) = \lim_{n\to \infty}\frac{m}{n},\]
де: m – кількість дослідів в результаті яких подія А настала;
n – загальна кількість дослідів.
Ймовірність вимірюється у процентах але в переважній більшості просто дробом. Але є обмеження 0 ≤ Р ≤ 1.
Теореми додавання та множення ймовірностей
Теорема. Якщо ймовірність події А рівна Р(А) то ймовірність протилежної події -А рівна Р(-А)=1–Р(А).
Теорема (додавання ймовірностей)
Ймовірність настання хоча б однієї із двох несумісних подій дорівнює сумі ймовірностей кожної із них.
Теорема (множення ймовірностей)
Ймовірність настання відразу двох сумісних подій дорівнює добутку ймовірностей кожної із них
Теореми додавання та множення ймовірностей можна поширити на будь-яку кількість подій.
Характеристики дискретної випадкової величини
Означення. Середнім значенням (математичним сподіванням) вибірки називається \(\displaystyle M = \overline{a} = \frac{x_1 m_1+x_2 m_2+...+x_k m_k}{n}\).
Означення. Мода - це значення, яке трапляється найчастіше. Якщо кілька значень повторюються однакову максимальну кількість разів, то в такому випадку моду визначити не можливо.
Означення. Медіана - це значення, яке ділить множину навпіл, так що одна половина значень більша від неї, а друга - менша.
Варіація — відмінність значень сукупності.
Означення. Розмах варіації (розмах вибірки): R = xmax - xmin