Первісна. Інтеграл та його застосування
Поняття первісної
Означення. Функція F(x) на заданому проміжку називається первісною для функції f(x), для всіх x з цього проміжку, якщо F'(x)=f(x).
Операція знаходження первісної для функції називається інтегруванням. Вона є оберненою до операції диференціювання.
Теорема. Всяка неперервна на проміжку функція (x) має первісну на цьому проміжку.
Теорема (основна властивість первісної). Якщо на деякому проміжку функція F(x) є первісною для функції f(x), то на цьому проміжку первісною для f(x) буде також функція F(x)+C, де C довільна стала.
З цієї теореми випливає, що коли f(x) має на заданому проміжку первісну функцію F(x), то цих первісних безліч. Надаючи C довільних числових значень, кожного разу діставатимемо первісну функцію.
Для знаходження первісних користуються таблицею первісних. Вона отримується із таблиці похідних.
Невизначений інтеграл
Поняття невизначеного інтегралу
Означення. Множина всіх первісних функцій для функції f(x) називається невизначеним інтегралом і позначається \(\displaystyle \int{f(x)dx}\).
При цьому f(x) називається підінтегральною функцією, а f(x)dx - підінтегральним виразом.
Отже, якщо F(x), є первісною для f(x), то \(\displaystyle \int f(x)dx = F(x)+C \).
Властивості невизначеного інтегралу
\(\displaystyle \int f(x+C)dx = \int f(x+C)d(x+C) = F(x+C),\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\) \(\displaystyle \int Cf(x)dx = C\int f(x)dx,\;\;\;\;\;\)
\(\displaystyle \int (f(x)+g(x))dx = \int f(x)dx + \int g(x)dx\)
Визначений інтеграл
Поняття визначеного інтегралу
Червоні елементи можна змінювати
Рис. 1. Поняття визначеного інтегралу
Розглянемо плоску фігуру, обмежену графіком неперервної та невід’ємної на відрізку [a; b] функції f(x), відрізком [a; b], та і прямими x=a та x=b.
Отримана фігура називається криволінійною трапецією. Обчислимо її площу.
Для цього розіб’ємо відрізок [a; b] на n рівних відрізків. Довжини кожного з відрізків дорівнюють Δx.
На кожному відрізку, побудуємо прямокутники з висотами f(xk-1) (Рис. 1).
Площа кожного такого прямокутника дорівнює Sk = f(xk-1)Δxk.
Площа всіх таких прямокутників дорівнює \(\displaystyle S_n = \sum_{k-1}^n f(x_{k-1})\Delta x_k\).
Цю суму називають інтегральною сумою для функції f(x).
Якщо n→∞ то площа побудованої таким чином фігури буде все менш відрізнятись від площі криволінійної трапеції.
Означення. Границя інтегральної суми коли n→∞ називається визначеним інтегралом, і записується це так : \(\displaystyle \lim_{n \to \infty}S_n = \int\limits_a^b f(x)dx\).
читається: "інтеграл від a до b f від xdx"
Число а називається нижньою межею інтегрування, b – верхньою межею інтегрування, відрізок
Властивості визначеного інтегралу
Формула Ньютона-Лейбніца
Визначений інтеграл тісно пов’язаний із первісною та невизначеним інтегралом формулою Ньютона- Лейбніца \[\displaystyle \int\limits_a^b f(x)dx = F(x)\vert_a^b = F(b) - F(a).\]
Застосування інтегралу
Інтегральне числення широко використовується при розв’язуванні різноманітних практичних задач. Розглянемо деякі з них.
Обчислення площі криволінійної трапеції
Рис.2. Криволінійна трапеція на площині
Нехай задано на площині деяку фігуру обмежену лініями x=a, x=b, y=f(x), y=g(x). (Рис. 2). Тоді її площа буде отримуватись інтегруванням різниці між верхньою та нижньою функцією на даному проміжку \(\displaystyle S = \int\limits_a^b (f(x) - g(x))dx\).
Механічний зміст інтегралу
Відстань, яку пройде тіло що рухається прямолінійно і змінює свою швидкість за законом v = v(t) за проміжок часу (t0; t1) можна знайти за формулою \(\displaystyle S = \int\limits_{t_0}^{t_1}v(t)dt\).