Степені, корені та логарифми

Вираз \(\displaystyle a^n\) читається " a в степені n " (a - основа, n - показник степеня).

Означення: Піднести число a до степеня n означає помножити це число саме на себе n разів: \(a^4 = a*a*a*a\).

\(\sqrt[n]{a}\)	n - парне	n - непарне
a>0	існує два корені з різними знаками	існує лише один корінь
a=0	0
a<0	дійсних коренів не існує

Вираз \(\sqrt[n]{a}\) читається " корінь n-го степеня із числа a " (a - підкореневий вираз, n - показник кореня).

Означення. Коренем n-го степеня з числа a називають таке число b, n-й степінь якого дорівнює a. \(\sqrt[n]{a} = b \rightarrow b^n=a\).

Означення. Арифметичним коренем n-го степеня з числа a називають невід'ємне число b, n-й степінь якого дорівнює a.

Означення. Степенем числа a>0 з раціональним показником \(\displaystyle r=\frac{m}{n}\) (m - ціле число, n - натуральне), називається число \(\displaystyle\sqrt[n]{a^m}\).

Вираз \(log_{\,a}\,x\) читається " логарифм числа x за основою a " (a - основа, x - показник логарифма).

Означення. Логарифм числа x>0 за основою \(a>0, (a\neq1)\) - це показник степеня y, до якого треба піднести число a, щоб отримати x \(log_{\,a}\,x = y \rightarrow a^y=x\).

\(\displaystyle a^{log_{\,a}\,b} = b\) - основна логарифмічна тотожність.

Існують особливі позначення для десяткового логарифму (логарифму за основою 10): \(\displaystyle log_{\,10}\,x = lg \: x\),

та натурального логарифму (логарифму за основою \(e \approx 2,71828\) число Ейлера або число Непера): \(log_{\,e}\,x = ln \: x\).