Тригонометричні функції тести
Вимірювання кутівтести
Кути, як правило, вимірюють у градусах або радіанах. 1° = π/180 ≈ 0,0174 рад; 1 рад = (180/π)° ≈ 57,6°; π ≈ 3,14.
Переведення кута із градусної міри в радіанну α = πα°/180.
Переведення кута із радіанної міри в градусну α° = α180°/π.
α - кут виміряний у радіанах;
α° - кут виміряний у градусах.
Основні тригонометричні функціїтести
Рис.2. тригонометричні
функції на одиничному колі
Рис. 1. Прямокутний
трикутник
Для прямокутного трикутника ΔABC (<C = 90°) (рис.1) можна записати співвідношення, які називаються тригонометричними функціями: \(\displaystyle Sin\:\alpha = \frac{a}{c}\); \(\displaystyle Cos\:\alpha = \frac{b}{c}\); \(\displaystyle tg\:\alpha = \frac{a}{b}\); \(\displaystyle ctg\:\alpha = \frac{b}{a}.\)
Функції називаються синус, косинус, тангенс та котангенс відповідно.
Де: a - протилежний катет; b - прилеглий катет; c - гіпотенуза
Геометрично можна визначити тригонометричні функції на одиничному колі (колі з одиничним радіусом) (Рис. 2)
Відповідність між деякими кутами та значеннями тригонометричних функцій
Графіки тригонометричних функцій тести
Червоні елементи можна змінювати
Рис. 2. Побудова графіків тригонометричних функцій
Рис.4. Знаки тригонометричних
функцій по чвертях
Для побудови графіків тригонометричних функцій потрібно скористатись визначенням тригонометричних функцій на одиничному колі (рис.2) по одній з осей, а по іншій відкладати кути.
Тригонометричні функції є періодичними (період синуса та косинуса 2π, а тангенса та котангенса - π). Тому всі властивості цих функцій будуть повторюватись через цей період.
На рис. 4. Показано знаки тригонометричних функцій у кожній з чвертей (це випливає з графіків).
Формули зведення
Якщо задана функція від кута π±α, то назва функції зберігається, а якщо від кутів π/2±α або 3π/2±α, то назва міняється на кофункцію. В результаті береться знак чверті заданої функції.
Тригонометричні формули тести
Основні тригонометричні тотожності
\(\displaystyle Sin^2 \alpha + Cos^2 \alpha = 1;\;\;\;\;\;\;\) \(\displaystyle tg \alpha = \frac{Sin\,\alpha}{Cos\,\alpha};\;\;\;\;\;\;\) \(\displaystyle ctg \alpha = \frac{Cos\, \alpha}{Sin\, \alpha};\;\;\;\;\;\;\) \(\displaystyle tg\,\alpha\; ctg\,\alpha = 1;\;\;\;\;\;\) \(\displaystyle 1 + tg^2 \alpha = \frac{1}{Cos^2 \alpha};\;\;\;\;\;\;\) \(\displaystyle 1 + ctg^2 \alpha = \frac{1}{Sin^2 \alpha}.\)
Формули подвійного аргументу
\(\displaystyle Sin\,2\alpha = 2Sin\,\alpha\;Cos\,\alpha;\;\;\;\;\;\;\;\) \(\displaystyle Cos\,2\alpha = Cos^2\alpha - Sin^2\,\alpha =\) \(\displaystyle 2Cos^2\alpha - 1 = 1 - 2Sin^2\,\alpha;\;\;\;\;\;\;\;\) \(\displaystyle tg\,2\alpha = \frac{2tg\,\alpha}{1 - tg^2\,\alpha}\)
Формули половинного аргументу
\(\displaystyle Sin \frac{\alpha}{2} = \sqrt{ \frac{1-Cos \alpha}{2}};\;\;\;\;\;\;\) \(\displaystyle Cos \frac{\alpha}{2} = \sqrt{ \frac{1+Cos \alpha}{2}};\;\;\;\;\;\;\) \(\displaystyle tg \frac{\alpha}{2} = \sqrt{ \frac{1-Cos \alpha}{1+Cos \alpha}}.\)
Формули додавання аргументу
\(\displaystyle Sin (\alpha \pm \beta)= Sin \alpha Cos \beta \mp Cos \alpha Sin \beta;\;\;\;\;\;\;\) \(\displaystyle Cos (\alpha \pm \beta)= Cos \alpha Cos \beta \pm Sin \alpha Sin \beta;\;\;\;\;\;\;\) \(\displaystyle tg (\alpha \pm \beta)= \frac{tg \alpha \pm tg \beta}{1 \mp tg \alpha tg \beta}.\)
Формули суми і різниці тригонометричних функцій
\(\displaystyle Sin \alpha + Sin \beta = 2 Sin \frac{\alpha + \beta}{2} Cos \frac{\alpha -\beta}{2};\;\;\;\;\;\;\) \(\displaystyle Sin \alpha - Sin \beta = 2 Cos \frac{\alpha + \beta}{2} Sin \frac{\alpha -\beta}{2};\;\;\;\;\;\;\) \(\displaystyle Cos \alpha + Cos \beta = 2 Cos \frac{\alpha + \beta}{2} Cos \frac{\alpha -\beta}{2};\;\;\;\;\;\;\) \(\displaystyle Cos \alpha - Cos \beta = -2 Sin \frac{\alpha + \beta}{2} Cos \frac{\alpha -\beta}{2};\;\;\;\;\;\;\) \(\displaystyle tg \alpha + tg \beta = \frac{Sin (\alpha + \beta)}{Cos \alpha Cos \beta};\;\;\;\;\;\;\) \(\displaystyle tg \alpha - tg \beta = \frac{Sin (\alpha - \beta)}{Cos \alpha Cos \beta}.\)
Формули перетворення добутку на суму
\(\displaystyle Sin \alpha Sin \beta = \frac{1}{2} (Cos (\alpha - \beta) - Cos (\alpha +\beta));\;\;\;\;\;\;\) \(\displaystyle Cos \alpha Cos \beta = \frac{1}{2} (Cos (\alpha - \beta) + Cos (\alpha +\beta));\;\;\;\;\;\;\) \(\displaystyle Sin \alpha Cos \beta = \frac{1}{2} (Sin (\alpha - \beta) + Sin (\alpha +\beta)).\)
Розв'язування тригонометричних рівнянь та нерівностей тести
| Рівняння | Загальний розв'язок | Розв'язок нерівності |
| Sin α = a | \(\alpha = (-1)^n arcSin\,a\) + \(\pi n, n\in Z\) | \(Sin\,x < \leqslant \geqslant> a\) |
| Cos α = a | \(\alpha = \pm arcCos\,a\) + \( 2\pi n, n\in Z\) | \(Cos\,x < \leqslant \geqslant> a\) |
| tg α = a | \(\alpha = arctg\,a\) + \(\pi n, n\in Z\) | \(tg\,x < \leqslant \geqslant> a\) |
| ctg α = a | \(\alpha = arcctg\,a\) + \(\pi n,n\in Z\) | \(ctg\,x < \leqslant \geqslant> a\) |