Трикутник та його елементи тести
Трикутниктести
Рис. 2. Тупокутний трикутник
Рис. 1. Гострокутний трикутник
Означення.Трикутником називається геометрична фігура на площині, яка складається з трьох точок, що не лежать на одній прямій, і трьох відрізків, які попарно сполучають ці точки. (Рис. 1). Точки називаються вершинами трикутника, а відрізки - сторонами трикутника.
Усе, що ми вивчаємо в геометрії — зводиться до трикутників. Будь-який багатокутник можна розбити на трикутники. Навіть 3D-моделі (у комп’ютерній графіці) — збудовані лише з трикутників!
Квадрат можна "зламати", змінивши кут, а трикутник — ні. Саме тому вежі, мости, ферми і навіть рама велосипеда будуються з трикутників
Теорема. Сума кутів трикутника дорівнює 180°.
Теорема. Зовнішній кут трикутника дорівнює сумі двох внутрішніх кутів, не суміжних з ним.
Означення. Якщо всі кути трикутника є гострими, то трикутник називається гострокутним. (Рис. 1)
Означення. Якщо один із кутів трикутника є тупим, то трикутник називається тупокутним. (Рис. 2)
Теорема Піфагоратести
У прямокутному трикутнику квадрат гіпотенузи дорівнює сумі квадратів катетів. \[c^2 = a^2+b^2\]
Теорема косинусівтести
Квадрат будь-якої сторони трикутника дорівнює сумі квадратів двох інших сторін без подвоєного добутку цих сторін на косинус кута між ними. \[c^2 = a^2+b^2-2abCos\gamma\]
Теорема синусівтести
Відношення довжини сторони до синуса протилежного кута є сталим для будь-якого трикутника і дорівнює діаметру описаного кола. \[\frac{a}{Sin\alpha} = \frac{b}{Sin\beta} = \frac{c}{Sin\gamma} = 2R\]
Проти більшого кута трикутника лежить більша його сторона, і навпаки.
Висота трикутника
Рис. 3. Висоти трикутника
Довжину висоти трикутника, яка проведена до сторони a, можна знайти за формулою: \(\displaystyle h_a = \frac{2S}{a}\).
Бісектриса трикутника
Рис. 4. Бісектриси трикутника.
Коло вписане в трикутник
Три бісектриси трикутника завжди перетинаються в одній точці в середині трикутника, ця точка є центром вписаного кола.
Довжину бісектриси трикутника, яка проведена до сторони a, можна знайти за формулою: \(\displaystyle l_a = \frac{2}{b+c}\sqrt{bcp(p-1)}\), де \(\displaystyle p = \frac{1}{2}(a+b+c)\).
Медіана трикутника
Рис. 5. Медіани трикутника
Три медиани перетинаються в одній точці в середині трикутника. Ця точка є центром ваги трикутника. Вона ділить кожну медіану у відношенні 2:1 (від вершини).
Медіана ділить трикутник на два рівновеликі трикутники (трикутники з рівними площами).
Три медіани трикутника розбивають його на шість рівновеликих трикутників.
Довжину медіани трикутника, яка проведена до сторони a, можна знайти за формулою: \(\displaystyle m_a = \frac{1}{2}\sqrt{2b^2+2c^2-a^2}\)
Вписане та описане колотести
Рис. 6. Серединні перпендикуляри.
Коло, описане навколо трикутника
Точка перетину бісектрис трикутника є центром вписаного в нього кола. Рис. 6.
Радіус кола вписаного в трикутник обчислюється за формулою \(\displaystyle r = \frac{2S}{a+b+c}\).
Точка перетину серединних перпендикулярів трикутника є центром описаного навколо нього кола. Рис. 6.
Означення. Серединним перпендикуляром називається пряма, яка перпендикулярна до сторони та проходить через її середину.
Радіус кола описаного навколо трикутника обчислюється за формулою \(\displaystyle R = \frac{abc}{4S}\).
Формули для обчислення площі трикутникатести
\(\displaystyle S = \frac{1}{2}ah_a;\;\;\;\;\) \(\displaystyle S = \frac{1}{2}abSin\alpha;\;\;\;\;\) \(S = \sqrt{p(p-a)(p-b)(p-c)}\), де \(\displaystyle p = \frac{a+b+c}{2}\) - півпериметр.
Рівність трикутників
Означення. Трикутники (фігури) називаються рівними, якщо в них відповідні сторони і кути рівні.
Ознаки рівності трикутників.
Теорема. Перша ознака рівності трикутників (ознака рівності трикутників за двома сторонами і кутом між ними). Якщо дві сторони і кут між ними одного трикутника дорівнюють відповідно двом сторонам і куту між ними другого трикутника, то такі трикутники рівні.
Теорема. Друга ознака рівності трикутників (ознака рівності трикутників за стороною і прилеглими до неї кутами). Якщо сторона і прилеглі до неї кути одного трикутника дорівнюють відповідно стороні й прилеглим до неї кутам другого трикутника, то такі трикутники рівні.
Теорема. Третя ознака рівності трикутників (ознака рівності трикутників за трьома сторонами). Якщо три сторони одного трикутника дорівнюють відповідно трьом сторонам другого трикутника, то такі трикутники рівні.
Подібність трикутників
Означення. Трикутники (фігури) називаються подібними, якщо їх відповідні кути рівні, а відповідні сторони пропорцйні.
Теорема (Ознаки подібності трикутників). Два трикутники подібні:
- якщо два кути одного відповідно дорівнюють двом кутам другого;
- якщо дві сторони одного пропорційні двом сторонам другого та кути, утворені цими сторонами, рівні;
- якщо три сторони одного пропорційні сторонам другого.
Рівнобедрений трикутник
Рис. 7. Рівнобедрений трикутник
Означення. Трикутник називається рівнобедреним, якщо в нього дві сторони рівні. Ці дві сторони називаються бічними сторонами, а третя сторона називається основою трикутника.
Теорема. У рівнобедреному трикутнику кути при основі рівні.
Теорема. Якщо в трикутнику два кути рівні, то він рівнобедрений.
Теорема. У рівнобедреному трикутнику медіана, проведена до основи, є його бісектрисою і висотою.
Правильний трикутник
Рис. 8. Правильний трикутник
Означення. Трикутник називається правильним (рівностороннім), якщо в нього всі сторони рівні.
Теорема. У правильному трикутнику всі кути рівні 60°.
У правильному трикутнику всі медіани є одночасно бісектрисами та висотами.
Прямокутний трикутник
Рис. 9. Прямокутний трикутник
Означення. Трикутник називається прямокутним, якщо один з його кутів прямий.
Означення. У прямокутному трикутнику сторони, які утворюють прямий кут, називаються катетами, а сторона, яка лежить проти прямого кута, називається гіпотенузою.
Теорема (теорема Піфагора) (наслідок із теореми косинусів). У прямокутному трикутнику квадрат гіпотенузи дорівнює сумі квадратів катетів \(c^2=a^2+b^2\).
Катет прямокутного трикутника є середнім пропорційним між гіпотенузою і його проекцією на гіпотенузу.
Висота прямокутного трикутника, опущена з вершини прямого кута, є середнім пропорційним між проекціями катетів на гіпотенузу.
Для прямокутного трикутника ΔABC (<C = 90°) (рис.9) можна записати співвідношення, які називаються тригонометричними функціями: \(\displaystyle Sin\:\alpha = \frac{a}{c}\); \(\displaystyle Cos\:\alpha = \frac{b}{c}\); \(\displaystyle tg\:\alpha = \frac{a}{b}\); \(\displaystyle ctg\:\alpha = \frac{b}{a}\).
Де: a - протилежний катет; b - прилеглий катет; c - гіпотенуза.
Функції називаються синус, косинус, тангенс та котангенс відповідно.