Вектори тести
Поняття векторатести
Означення: Вектор – це напрямлений відрізок.
Вектор має початок та кінець.
Графічно вектори зображаються у вигляді напрямлених відрізків певної довжини.
Напрям вектора задається стрілкою на його кінці.
Позначається вектор або малою латинською буквою зверху зі стрілкою \(\vec{a}\), або двома великими буквами зі стрілкою \(\vec{AB}\), перша з яких є початком, а друга кінцем вектора.
Означення. Зв'язаним називається вектор, який має чітко визначений початок.
Означення. Вільним називається вектор, початок якого може бути перенесеним у будь-яку точку. Надалі розглядатимемо саме вільні вектори.
Означення: Абсолютною величиною або модулем вектора називається довжина відрізка, що зображує вектор. Позначається \(|\vec{a}|\).
Означення: Два вектори називаються рівними, якщо їх модулі та напрямки є однаковими.
Нехай вектор \(\vec{a}\) має початком точку \(A(x_1; y_1)\), а кінцем - точку \(B(x_2; y_2)\).
Означення: Координатами вектора \(\vec{a}(a_1; a_2)\) називаються числа \(a_1=x_2-x_1; a_2=y_2-y_1\).
Тобто, щоб визначити координати вектора, потрібно від координат кінця вектора відняти координати його початку.
Два вектори є рівними, якщо в них рівні відповідні координати.
Означення: Вектор, у якого початок збігається із його кінцем, називається нуль-вектором \(\vec{0}\).
Модуль (довжина) вектора визначається за формулою: \(|\vec{a}|=\sqrt{a_1^2+a_2^2}\).
Вектори в просторі
Попередні формули, записані для двох координат, можуть бути поширені на три та більше координат.
Зрозуміло, що уявити вектор, який має 4 і більше координат неможливо, але математика дає можливість виконувати такі обчислення - вони використовуються наприклад у фізиці, радіоелектроніці та ін.
Колінеарні векторитести
Означення. Два вектори називаються колінеарними, якщо вони паралельні одній прямій.
Компланарні вектори
Означення. Три вектори називаються компланарними, якщо вони паралельні одній площині.
Операції над векторамитести
Над векторами можна виконати такі операції:
Додавання двох векторівтести
Означення. Сумою двох векторів \(\vec{a}(a_1; a_2)\) та \(\vec{b}(b_1; b_2)\) називається вектор \(\vec{c}(a_1+b_1;\)\(a_2+b_2)\).
Геометрично вектори можна додавати за правилами трикутника або паралелограма.
Віднімання двох векторівтести
Означення. Різницею двох векторів \(\vec{a}(a_1; a_2)\) та \(\vec{b}(b_1; b_2)\) називається вектор \(\vec{c}(a_1-b_1;\)\(a_2-b_2)\).
Операцію віднімання векторів можна представити через операцію додавання векторів: \(\vec{a}-\vec{b} =\)\(\vec{a}+(-\vec{b})\).
Множення вектора на числотести
Означення. Добутком вектора \(\vec{a}(a_1; a_2)\) на число \(\alpha\) називається вектор \(\vec{\alpha a}(\alpha a_1; \alpha a_2)\).
Геометрично це означає збільшення вектора \(\vec{a}\) у \(\alpha\) разів.
Множення векторів (скалярний добуток векторів)тести
Означення. Скалярним добутком двох векторів \(\vec{a}(a_1; a_2)\) та \(\vec{b}(b_1; b_2)\) називають число, рівне добутку довжин цих векторів на косинус кута між ними \(\vec{a}\vec{b} = |\vec{a}||\vec{b}|Cos\,\alpha\).
Скалярний добуток двох векторів можна обчислити за іншою формулою: \(\vec{a}\vec{b} = a_1b_1 + a_2b_2\).
З першої формули можна отримати формулу для обчислення косинуса кута між векторами: \(\displaystyle Cos\,\alpha = \frac{\vec{a}\vec{b}}{|\vec{a}||\vec{b}|}\).
Коли вектори перпендикулярні, то їх скалярний добуток дорівнює нулю, і навпаки.
Фізичним змістом скалярного добутку двох векторів є робота сили по переміщенню тіла: \(A = \vec{F}\vec{S}\).
