Чотирикутник та його елементи
Чотирикутник
Означення. Чотирикутником називається фігура, яка складається з чотирьох точок і чотирьох відрізків, що послідовно їх сполучають. При цьому жодні три з даних точок не повинні лежати на одній прямій, а відрізки, що їх сполучають, не повинні перетинатися. Точки називаються вершинами чотирикутника, а відрізки, що їх сполучають, - сторонами чотирикутника.
Означення. Вершини чотирикутника наиваються сусідніми, якщо вони є кінцями однієї з його сторін.
Означення. Вершини чотирикутника, які не є сусідніми називаються протилежними.
Означення. Відрізки, що сполучають протилежні вершини чотирикутника, називаються діагоналями.
Означення. Сторони чотирикутника, що виходять з однієї вершини, називаються сусідніми сторонами.
Означення. Сторони чотирикутника, які не мають спільного кінця називаються протилежними.
Чотирикутник позначають записуючи його вершини.
Означення. Периметром чотирикутника називається сума довжин його сторін.
Сума кутів чотирикутника дорівнює 360°.
В загальному випадку площу чотирикутника можна обчислити як суму площ довільних трикутників на які можна його розбити.
Трапеція
Рис. 1. Трапеція.
Означення. Трапецією називається чотирикутник, у якого тільки дві протилежні сторони паралельні (Рис. 1). Вони називаються основами трапеції (відповідно верхньою та нижньою). Дві інші сторони називаються бічними сторонами.
Як правило верхня основа позначається a, нижня - b.
Означення. Трапеція, у якої бічні сторони рівні називається рівнобічною (Рис. 2).
Означення. Трапеція, у якої два кути прямі називається прямокутною.
Рис. 2. Рівнобічна трапеція.
Означення. Відрізок, який сполучає середини бічних сторін трапеції, називається середньою лінією трапеції.
Теорема. Середня лінія трапеції паралельна основам і дорівнює їх півсумі \(\displaystyle l = \frac{a+b}{2}\).
Площа трапеції дорівнює добутку півсуми основ (середньої лінії) на висоту \(\displaystyle S = \frac{a+b}{2}h\).
Паралелограм
Рис. 3. Паралелограм.
Означення. Паралелограмом називається чотирикутник, у якого протилежні сторони паралельні.
Теорема. У паралелограма протилежні сторони рівні, протилежні кути рівні.
Сторони паралелограма як правило позначаються a та b.
Теорема. Якщо діагоналі чотирикутника перетинаються і в точці перетину діляться пополам, то цей чотирикутник – паралелограм. І навпаки. Діагоналі паралелограма перетинаються і в точці перетину діляться пополам.
Периметр паралелограма обчислюється за формулою \(p=2(a+b)\).
Площа паралелограма може бути обчислена за такими формулами: \(S = ah\), \(S = abSin\,\alpha\).
Прямокутник
Рис. 4. Прямокутник.
Означення. Прямокутник – це паралелограм, у якого всі кути прямі (рівні 90°).
Теорема. Діагоналі прямокутника рівні.
Площа прямокутника \(S = ab\).
Ромб
Рис. 5. Ромб.
Означення. Ромб – це паралелограм, у якого всі сторони рівні.
Теорема. Діагоналі ромба перетинаються під прямим кутом і є бісектрисами його кутів.
Периметр ромба \(p = 4a\).
Квадрат
Рис. 6. Квадрат.
Означення. (перше означення квадрата). Квадратом називається прямокутник, у якого всі сторони рівні.
Означення. (друге означення квадрата). Квадратом називається ромб, у якого всі кути прямі (рівні 90°).
Квадрат має всі властивості прямокутника і ромба.
Площа квадрата S = a2.
Теорема Фалеса
Рис. 7. Теорема Фалеса.
Теорема. Якщо паралельні прямі, які перетинають сторони кута відтинають на одній його стороні рівні (пропорційні) відрізки, то вони відтинають рівні (пропорційні) відрізки і на другій його стороні (Рис. 7).
a1 || a2 ||a3 ||a4
Якщо AB = BC , тоді A1B1 = B1C1
AB:CD=A1B1:C1D1